Table des matières

Cours XII. Orientation, transferts et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Cohomologie motivique et groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Cas des complexes motiviques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Motifs géométriques effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Motifs géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Théorème du fibré projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1. Fibrés vectoriels et projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2. Préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. Enoncé et preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.4. Théorème de pureté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Morphisme de Gysin et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. Filtration par coniveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

COURS XII ORIENTATION, TRANSFERTS ET DUALITÉ

Tous les S-schémas sont supposés séparés de type fini.

1. Cohomologie motivique et groupe de Picard

1.1. Cas des complexes motiviques. — Reprenons les notations de la définition IX.11.

Définition XII.1. — Si X est un S-schéma lisse, on note M(X) l’objet de DM^{eff}(S) représenté par le complexe de faisceaux avec transferts concentré en degré 0 égal à ℤ_{S}^{tr}(X).

XII.1.1.a. — Considérons un entier n > 0. On note ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{∧,n}) le faisceau avec transferts sur S obtenu comme conoyau du morphisme canonique :

⨁_{i=1}^{n} ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{n−1}) → ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{n}),

somme des morphismes induits par les immersions fermées de la forme 𝔾_{m}^{i−1}×{1}×𝔾_{m}^{n−i} → 𝔾_{m}^{n}.^{(1)}

Définition XII.2. — On définit le motif de Tate ℤ_{S}(n) comme l’objet de DM^{eff}(S) représenté par le complexe de faisceaux avec transferts concentré en degré n égal à ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{∧,n}) en degré n.

Pour tout S-schéma lisse X et tout couple d’entiers (i, n) ∈ ℤ × ℕ, on définit la cohomologie motivique effective de X en degré (i, n) comme le groupe abélien :

Hom_{DM^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(n)[i]).

Remarque XII.1. — On fera attention que le complexe de faisceaux avec transferts ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{∧,n}) n’est pas 𝔸^{1}-local (n > 0).

Notons que la définition du complexe de Suslin (cf. XI.8) se généralise facilement au cas où S est un schéma régulier : si F est un faisceau avec transferts sur S, on pose :

C_{∗}^{sing}(F) = \underline{Hom}_{𝒩_{S}^{tr}} (ℤ_{S}^{tr}(Δ_{S}^{∗}), F).

(1)Avec les notations de XI.2.2.c, ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}^{∧,n}) est la puissance tensorielle n-ième de ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1).

Proposition XII.1. — Considérons le morphisme de faisceaux Nisnevich sur ℒ_{S} suivant :

η : 𝔾_{m} ⟶^{γ} ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}) → ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1)

où le premier morphisme est induit par le foncteur graphe et le second est la projection canonique. Le morphisme de complexes de faisceaux Nisnevich

𝔾_{m} → C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1))

est un quasi-isomorphisme.

Démonstration. — Pour tout S-schéma lisse X,

Γ(X, C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}))) = c_{S} (X × Δ^{∗}, 𝔾_{m}) .

Par définition de l’homologie singulière de Suslin (cf. remarque XI.7), on en déduit donc :

H_{i}Γ(X, C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}))) = H_{i}^{sing}(𝔾_{m,X}/X).

Supposons que X soit affine. Dès lors, la X-courbe lisse 𝔾_{m,X} admet évidemment une bonne compactification sur X au sens de la définition X.7, la droite projective ℙ_{X}^{1}. Posons X_{0} = X ×{0}, X_{∞} = X × {∞} vus comme des sous-schémas fermés de ℙ_{X}^{1}. Le calcul suivant résulte donc du théorème 3.1 de [SV96] :

H_{i}Γ(X, C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}))) = \begin{cases}Pic(ℙ_{X}^{1}, X_{0} ⊔ X_{∞}) & si i = 0, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Pour conclure, il suffit de montrer que le morphisme induit par η :

𝔾_{m}(X) → H_{0}Γ(X, C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1)))

est un isomorphisme. Notons que le membre de droite est encore le conoyau du morphisme induit par la section unité du X-schéma en groupe 𝔾_{m,X} :

ℤ^{π_{0}(X)} = H_{0}^{sing}(X/X) → H_{sing}^{0}(𝔾_{m,X}/X) = Pic(ℙ_{X}^{1}, X_{0} ⊔ X_{∞}).

Or, par définition du groupe de Picard relatif, on obtient une suite exacte :

𝔾_{m}(ℙ_{X}^{1}) ⟶^{(1)} 𝔾_{m}(X_{0}) ⊕ 𝔾_{m}(X_{∞}) → Pic(ℙ_{X}^{1}, X_{0} ⊔ X_{∞}) → Pic(ℙ_{X}^{1}) ⟶^{(2)} Pic(X_{0}) ⊕ Pic(X_{∞}).

Comme X est réduit, le conoyau de la flèche (1) est 𝔾_{m}(X). Comme X est régulier, on obtient une suite exacte courte :

0 → ℤ^{π_{0}(X)} → Pic(ℙ_{X}^{1}) ⟶^{φ} Pic(X) → 0

où φ est la restriction par la section nulle ou infinie de ℙ_{X}^{1}/X. Or, la flèche (2) est égal à (φ, φ) : son noyau est donc égal à ℤ^{π_{0}(X)}. On en déduit donc une suite exacte courte :

0 → 𝔾_{m}(X) → Pic(ℙ_{X}^{1}, X_{0} ⊔ X_{∞}) → ℤ^{π_{0}(X)} → 0

ce qui permet de conclure.

Remarque XII.2. — Il résulte de cette proposition que le faisceau Nisnevich représenté par 𝔾_{m} sur ℒ_{X} admet des transferts. On peut décrire les transferts comme suit. Soit X, Y deux S-schémas lisses connexes. Soit Z ⊂ X ×_{S} Y un sous-schéma fermé irréductible fini surjectif sur X, vu comme une correspondance finie α : X•→ Y.

On pose A = O_{X}(X), B = O_{Z}(Z). Ainsi, B/A est une extension entière. Si l’on pose K = Frac(A) , L = Frac(B), la norme de l’extension finie L/K induit un unique morphisme N : B^{×} → A^{×}. On peut alors vérifie que le morphisme α^{∗} : 𝔾_{m}(Y) → 𝔾_{m}(X) induit par la proposition précédente est donné par la composée suivante :

α^{∗} : 𝔾_{m}(Y) → 𝔾_{m}(Z) = B^{×} ⟶^{N} A^{×} = 𝔾_{m}(X).

Notons que le complexe 𝔾_{m} est 𝔸^{1}-local au sens de la définition IX.12. Par ailleurs, on peut montrer que le morphisme

ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1) → C_{∗}^{sing}(ℤ_{S}^{tr}(𝔾_{m}/1))

est un isomorphisme dans DM^{eff}(S). Compte tenu de la remarque IX.7, on en déduit le résultat suivant :

Théorème XII.2. — Soit X un S-schéma lisse. Alors, pour tout entier n ∈ ℤ,

Hom_{DM^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(1)[n]) = \begin{cases}O_{X}(X)^{×} & si n = 1, \\ Pic(X) & si n = 2, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Notons que l’isomorphisme de ce théorème est naturel par rapport au S-schéma lisse X.

1.2. Motifs géométriques effectifs. —

XII.1.2.a. — Pour la suite de ce cours, on va admettre que le foncteur (IX.82)

ρ : DM_{gm}^{eff}(S) → DM^{eff}(S)

est pleinement fidèle. Ainsi, le théorème précédent donne pour tout S-schéma lisse X un isomorphisme canonique de groupes abéliens :

(XII.1)  Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(1)[2]) = Pic(X)

où ℤ_{S}(1) est définit comme le complexe de ℒ_{S}^{cor} concentré en degrés 0 et 1 de la forme suivante

… [S] → [𝔾_{m,S}] …

le seule différentielle non nulle étant induite par la section unité.

XII.1.2.b. — Utilisant la structure monoïdale de DM_{gm}^{eff}(S), on peut poser ℤ_{S}(n) = ℤ_{S}(1)^{⊗,n}, de sorte que ρ envoie isomorphiquement cet objet de DM_{gm}^{eff}(S) sur l’objet correspondant de DM^{eff}(S).

Le cohomologie motivique effective de S en degré (i, n) est alors isomorphe au groupe abélien :

Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(ℤ_{S}, ℤ_{S}(n)[i]).

Compte tenu de l’identification ℤ_{S}(n) ⊗ ℤ_{S}(m) = ℤ_{S}(n + m), le produit tensoriel de DM_{gm}^{eff}(S) induit une unique structure d’algèbre bigraduée sur la cohomologie motivique effective de S.

Si X est un S-schéma lisse avec pour morphisme structural p, le lien avec la définition XII.2 se fait grâce à l’adjonction de catégories triangulées (voir proposition VII.10) :

p_{♯} : DM_{gm}^{eff}(X) ⇆ DM_{gm}^{eff}(S) : p^{∗}

En effet,

Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(n)[i]) = Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(p_{♯}(ℤ_{X}), ℤ_{S}(n)[i])
= Hom_{DM_{gm}^{eff} (X)}(ℤ_{X}, p^{∗}(ℤ_{S}(n)[i])) = Hom_{DM_{gm}^{eff} (X)}(ℤ_{X}, ℤ_{X}(n)[i]) = H_{M,eff}^{i,n}(X).

Remarque XII.3. — Notons qu’on obtient aussi un isomorphisme :

𝔾_{m}(X) = Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(1)[1]).

Par définition, on peut décrire celui-ci comme le morphisme composé suivant :

𝔾_{m}(X) = Hom_{S}(X, 𝔾_{m}) ⟶^{γ} c_{S} (X, 𝔾_{m}) ⟶^{π} c_{S} (X, 𝔾_{m}/1) ⟶^{(1)} Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(M_{S}(X), ℤ_{S}(1)[1]).

Le morphisme γ est le morphisme graphe. Le morphisme π est le morphisme de projection canonique associé à la décomposition évidente :

c_{S} (X, 𝔾_{m}) = ℤ^{π_{0}(X)} ⊕ c_{S} (X, 𝔾_{m}/1) .

La projection sur le premier facteur est induite par le morphisme de projection 𝔾_{m,S} → S. Le morphisme (1) est induit par le foncteur canonique ℒ_{S}^{cor} → DM_{gm}^{eff}(S).

1.3. Motifs géométriques. —

Définition XII.3. — On définit la catégorie des motifs géométriques DM_{gm}(S) comme la catégorie obtenue à partir de DM_{gm}^{eff}(S) en inversant formellement le morphisme de Tate ℤ_{S}(1) et en considérant ensuite l’enveloppe pseudo-abélienne.

Cette catégorie admet de manière évidente une structure triangulée monoïdale telle que le foncteur canonique

(XII.2)  DM_{gm}^{eff}(S) → DM_{gm}(S)

est triangulé monoïdal. La structure monoïdale est symétrique.^{(2)}

La fonctorialité de la catégorie DM_{gm}^{eff}(S) par rapport à S construite dans le paragraphe VII.2.3.a s’étend à la catégorie DM_{gm}(S) – notamment grâce à la proposition VII.14 qui montre que p_{♯}(M(1)) = p_{♯}(M)(1). Le foncteur (XII.2) est alors compatible à cette fonctorialité dans le sens évident.

Définition XII.4. — Pour tout schéma régulier S et tout couple d’entiers (i, n) ∈ ℤ^{2}, on définit la cohomologie motivique de S en degré (i, n) comme le groupe abélien :

H_{M}^{i,n}(S) = Hom_{DM_{gm}(S)}(ℤ_{S}, ℤ_{S}(i)[n]).

Plus concrètement, on obtient :

H_{M}^{i,n}(S) = \underrightarrow{lim}_{r≥max(0,−i)} Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(ℤ_{S}(r), ℤ_{S}(r + i)[n]).

Remarque XII.4. — Si S est un schéma régulier d’égales caractéristiques, les morphismes de transition dans la limite inductive précédente sont des isomorphismes : la cohomologie motivique coïncide avec la cohomologie motivique effective. Dans le cas d’un schéma régulier S d’inégales caractéristiques, on ignore si cette propriété est vérifiée.

2. Théorème du fibré projectif

2.1. Fibrés vectoriels et projectifs. —

XII.2.1.a. — Soit S un schéma.

Rappelons qu’un O_{S}-module M est quasi-cohérent si pour tout point s ∈ S, il existe un voisinage ouvert affine U = Spec(A) de s, un A-module M et un isomorphisme M|_{U} ≃ M̃ de O_{U}-modules (avec la notation de X.1). Dans ce cas, pour tout ouvert affine U = Spec(A), si l’on pose M = Γ(U, M), on obtient un isomorphisme canonique M̃ ≃ M|_{U}.

Si A est une O_{S}-algèbre quasi-cohérente, il existe un unique S-schéma affine X tel que :

1. pour tout ouvert affine U de S,

X ×_{S} U = Spec(A(U)).

2. Pour toute inclusion V → U d’ouverts affines de S, le morphisme induit X ×_{S} V → X ×_{S} U est le spectre du morphisme d’anneaux :

A(U) → A(V).

(2)Cela résulte du fait que la permutation des facteurs sur ℤ_{S}(1) ⊗ ℤ_{S}(1) est égale à l’identité dans DM_{gm}^{eff} (S).

On note ce schéma Spec_{S} (A). Notons qu’il est contravariant en A. On a ainsi définit une antiéquivalence de catégories entre les S-schémas affines et les O_{S}-modules quasi-cohérents. Un quasiinverse de A ↦ Spec_{S} (A) est donné par le foncteur qui à un morphisme affine (f : X → S) associe la O_{S}-algèbre quasi-cohérente f_{∗}(O_{X}) – cf. [1.3.1, EGA2].

Exemple XII.1. — Un morphisme de schémas i : Z → S est une immersion fermée si et seulement si c’est un morphisme affine et le morphisme i^{♯} : O_{X} → i_{∗}(O_{Z}) est surjectif.

Dans ce cas, le noyau I de i^{♯} est un faisceau d’idéaux de O_{X} qui détermine uniquement i. On l’appelle l’idéal associé à i.

Définition XII.5. — Soit X un schéma. On dit qu’un X-schéma E est un fibré vectoriel si pour tout point x ∈ X, il existe un voisinage ouvert U de x dans X et un U-isomorphisme E×_{X} U → 𝔸_{U}^{n}.

L’entier n ∈ ℕ apparaissant dans cette définition est indépendant du voisinage ouvert U choisi. On l’appelle le rang de E/X en x et on le note rg_{x}(E). C’est une fonction localement constante en x.

XII.2.1.b. — Si M est un A-module, on note Sym_{A}(M) la A-algèbre graduée symétrique associée à M. Si E est un O_{X}-module, on lui associe une O_{X}-algèbre graduée Sym_{X}(E) en considérant le faisceau associé au préfaisceau sur X_{Zar} :

U ↦ Sym_{O_{X}(U)}(E(U)).

Si E est quasi-cohérent, Sym(E) est quasi-cohérent. De plus, si E est localement libre de rang fini, le schéma Spec_{X} (Sym(E)) est un fibré vectoriel sur X. Le foncteur

E ↦ Spec_{X} (Sym(E))

réalise une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des O_{X}-modules localement libre de rang fini et la catégorie des fibrés vectoriels sur X. Notons que Sym(O_{X}) = O_{X} ⊗_{ℤ} ℤ[t] ; ainsi, Spec_{Sym(O_{X})} (=) 𝔸_{X}^{1}. Il résulte de l’équivalence de catégorie précédente que tout fibré vectoriel E/X admet une unique structure de module sur le X-schéma en anneaux 𝔸_{X}^{1} :

(XII.3)  γ : 𝔸^{1} × E = 𝔸_{X}^{1} ×_{X} E → E.

Si E/X est un fibré vectoriel, le faisceau sur X_{Zar}

E : U ↦ Hom_{X}(U, E)

est localement libre de rang fini. Si on note E^{∨} le dual du O_{X}-module E, on définit ainsi un foncteur E ↦ E^{∨} qui est un quasi-inverse du foncteur précédent. Ainsi, le morphisme nul O_{X} → E définit un élément canonique de Hom_{O_{X}} (O_{X}, E) = Γ(X, E^{∨}), autrement dit une section s : X → E de E/X appelée la section nulle de E – comme E/X est séparé, s est une immersion fermée (V.3.1).

XII.2.1.c. — Soit E/X un fibré vectoriel, s : X → E la section nulle. On note E^{×} l’ouvert complémentaire de s. L’action de 𝔸^{1} sur E induit une action de 𝔾_{m} sur E^{×}.

On peut définir le fibré projectif associé à E comme le schéma quotient

ℙ(E) = E^{×}/𝔾_{m}.

Notons λ le produit semi-direct de E^{×} et 𝔸^{1} chacun muni de son action canonique de 𝔾_{m}. Ainsi, λ est muni d’une action de 𝔸^{1} au-dessus de ℙ(E) ; on vérifie facilement que c’est un fibré vectoriel de rang 1. On l’appellera le fibré inversible canonique sur ℙ(E).^{(3)}

Notons que d’après l’isomorphisme (XII.1), on associe à λ un uinque morphisme de DM_{gm}^{eff}(S) :

(XII.4)  c_{1}(λ) : M_{S}(ℙ(E)) → ℤ_{S}(1)[2]

(3)Il est souvent noté O_{ℙ(E)}(−1).

2.2. Préparation. — Si i : Y → X est une immersion, on note M_{S}(X/Y) le motif relatif associé au morphisme i dans la définition VII.11.

Considèrons les morphismes suivants :

p : 𝔾_{m,S} → S  projection canonique
j : 𝔾_{m,S} → 𝔸_{S}^{1}  immersion ouverte canonique
j^{0}, j^{∞} : 𝔸_{S}^{1} → ℙ_{S}^{1} immersion ouverte complémentaire de 0 et ∞
i^{∞} : S → ℙ_{S}^{1}  section infinie.

Par fonctorialité du motif relatif, on en déduit des morphismes de triangles :

\begin{matrix}ℤ_{S}(1)[1] & [figure] & ∼ & [figure] & M_{S}(𝔾_{m,S}) & p_{∗} & [figure] & ℤ_{S} & [figure] & ∼ & [figure] & M_{S}(𝔸_{S}^{1}/𝔾_{m,S}) & ∼ & [figure] & M_{S}(𝔸_{S}^{1}/𝔾_{m,S})[−1] & [figure] & ∼ & [figure] & M_{S}(𝔾_{m,S}) & j_{∗} & [figure] & [figure] & M_{S}(𝔸_{S}^{1}) & [figure] & j_{∗}^{∞} & [figure] & M_{S}(𝔸_{S}^{1}/𝔾_{m,S}) & ∼ & [figure] & M_{S}(ℙ_{S}^{1}/𝔸_{S}^{1})[−1] & [figure] & ∼ & [figure] & M_{S}(𝔸_{S}^{1}) & j_{∗}^{0} & [figure] & ∼ & [figure] & M_{S}(ℙ_{S}^{1}) & [figure] & M_{S}(ℙ_{S}^{1}/𝔸_{S}^{1}) & ∼ & [figure] & M̃_{S}(ℙ_{S}^{1}, ∞)[−1] & [figure] & ℤ_{S} & s_{∗} & [figure] & M_{S}(ℙ_{S}^{1}) & [figure] & M̃_{S}(ℙ_{S}^{1}, ∞) \\ (XII.5) \end{matrix}

Dans ce diagramme, les flèhes verticales indiquées avec le symbole ∼ sont des isomorphismes d’après la propriété d’invariance par homotopie des motifs et du fait que chaque étage forme un morphisme de triangle distingué, ou bien d’après la proposition VII.9. Notons par ailleurs que chaque suite verticale est un triangle distingué scindé.

Corollaire XII.2.1. — Le diagramme (XII.5) induit une décomposition canonique :

M_{S}(ℙ_{S}^{1}) = ℤ_{S} ⊕ ℤ_{S}(1)[2].

Corollaire XII.2.2. — Soit λ le fibré inversible canonique sur ℙ_{S}^{1}, c_{1}(λ) : M_{S}(ℙ_{S}^{1}) → ℤ_{S}(1)[2] le morphisme (XII.4) qui lui est associé.

Alors, c_{1}(λ) induit un isomorphisme sur le facteur direct ℤ_{S}(1)[2] dans la décomposition du corollaire précédent.

Démonstration. — On peut suppposer que S est connnexe. Compte tenu de la dernière ligne du diagramme (XII.5), de l’isomorphisme (XII.1), cela résulte formellement de la suite exacte courte

0 → ℤ → Pic(ℙ_{S}^{1}) ⟶^{s^{∗}} Pic(S) → 0

et du fait que la classe c_{1}(λ) est un générateur du noyau de s^{∗}.

XII.2.2.a. — Considérons un fibré vectoriel E sur S. On en déduit un fibré vectoriel E ⊕ 𝟙 = E × 𝔸^{1} sur X obtenu en ajoutant une copie du fibré trivial. Ce schéma admet un recouvrement ouvert évident par (E × 𝔾_{m}, E^{×} × 𝔸^{1}). On en déduit un diagramme d’immersions

\xymatrix{ & E^{×} × 𝔾_{m} \ar[d] \ar[r] & E × 𝔾_{m} \ar[d] \\ E^{×} \ar[r]_{s_{0}} & E^{×} × 𝔸^{1} \ar[r] & E ⊕ 𝟙}

dans lequel le carré est cartésein et s_{0} est la section nulle. Chaque schéma de ce diagramme a une action canonique de 𝔾_{m} : considérant le quotient par 𝔾_{m}, on en déduit un diagramme d’immersions :

\xymatrix{ & E^{×} \ar[d] \ar[r] & E \ar[d] \\ ℙ(E) \ar[r]_{s′_{0}} & λ_{E} \ar[r] & ℙ(E ⊕ 𝟙)}

où s′_{0} est la section nulle du fibré inversible canonique λ_{E} sur ℙ(E). Ainsi, E est un ouvert de ℙ(E ⊕ 𝟙) dont le complémentaire est le schéma ℙ(E) vu à travers la composé des flèches horizontales inférieure dans le diagramme précédent.^{(4)} D’après la propriété d’excision des motifs (cf. proposition VII.9), on en déduit un isomorphisme canonique :

(XII.6)  M(E/E^{×}) ≃ M(ℙ(E ⊕ 𝟙)/λ) ≃ M(ℙ(E ⊕ 𝟙)/ℙ(E)).

Définition XII.6. — Si X est un S-schéma lisse et E/X est un fibré vectoriel, on pose M_{S}T h(E) = M_{S}(E/E^{×}) et on l’appelle l’espace de Thom de E/X sur S.

Exemple XII.2. — Dans le cas particulier où E = 𝔸_{S}^{n} pour un entier n > 0, on en déduit un isomorphisme canonique :

M_{S}(ℙ_{S}^{n}/ℙ_{S}^{n−1}) = M_{S}(𝔸_{S}^{n}/𝔸_{S}^{n} − {0}) = ℤ_{S}(n)[2n].

On laisse la dernière identification en exercice.

2.3. Enoncé et preuve. —

XII.2.3.a. — Soit S un schéma régulier et E/S un fibré vectoriel de rang n+1. Le fibré en droites λ_{E} sur ℙ(E) correspond à un O_{S}-module inversible auquel on associe une classe c_{1}(λ) ∈ Pic(ℙ(E)). Compte tenu de l’isomorphisme (XII.1) cette classe correspond donc à un morphisme

M_{S}(ℙ(E)) → ℤ_{S}(1)[2]

que l’on note encore c_{1}(λ_{E}) par abus.

Théorème XII.3. — Avec les notations qui précèdent, le morphisme

ϵ_{E} = ∑_{i=0}^{n} c_{1}(λ_{E})^{i} : M_{S}(ℙ(E)) → ⨁_{i=0}^{n} ℤ_{S}(i)[2i]

est un isomorphisme dans DM_{gm}^{eff}.

Démonstration. — Considérons un recouvrement ouvert f : W → S tel que le fibré vectoriel F = E ×_{S} W sur W soit isomorphe à 𝔸_{W}^{n+1}. Notons que λ_{E} ×_{S} W =_{l} ambda_{F}. L’isomorphisme (XII.1) est naturel en S par rapport aux morphismes lisses : on en déduit : f^{∗}(ϵ_{E}) = ϵ_{F}.

D’après la proposition VII.13, le foncteur f^{∗} est conservatif et il suffit donc de traiter le cas de F/W. Par hypothèse, on obtient un isomorphisme ϕ : ℙ(F) → ℙ_{W}^{n}. Si l’on note λ_{n} le fibré inversible canonique sur ℙ_{W}^{n}, cet isomorphisme envoie λ_{F} sur λ_{n} : on en déduit un diagramme commutatif :

\xymatrix{M(ℙ(F)) \ar@{-->}[dr]_{ϵ_{F}} \ar[rr]^{ϕ} &  & M(ℙ_{W}^{n}) \ar@{-->}[dl]^{ϵ_{𝔸^{n}_{W}}} \\  & ⊕_{i≤n}ℤ_{W} (i)[2i]}

On est donc ramené au cas où E = 𝔸_{S}^{n}. On pose c_{1,n} = c_{1}(λ_{n}), ϵ_{n} = ϵ_{𝔸_{S}^{n}}.

Le cas n = 0 est trivial. Le cas n = 1 est précisement le corollaire XII.2.2. Le cas général en résulte par récurrence à partir de l’isomorphisme de l’exemple XII.2 (voir par exemple [Dég08, lem. 3.3]).

(4)On dit que ℙ(E ⊕ 𝟙) est la complétion projective de E.

Remarque XII.5. — Notons que si X/S est un schéma lisse de morphisme structural p, et E/X un fibré vectoriel de rang n + 1, on en déduit un isomorphisme canonique

M_{S}(ℙ(E)) ⟶^{∼} ⨁_{i=0}^{n} M_{S}(X)(i)[2i]

dont la projection sur M_{S}(X)(i)[2i] est définit canoniquement comme la classe du fibré λ_{E} à travers le morphisme canonique induit par p_{♯} :

Hom_{DM_{gm}^{eff} (X)}(M_{X}(ℙ(E)), ℤ_{X}(1)[2]) = Hom_{DM_{gm}^{eff} (S)}(M_{S}(ℙ(E)), M_{S}(X)(1)[2]).

XII.2.3.b. — Compte tenu du foncteur (XII.2), l’isomorphisme ϵ_{E} est vrai dans DM_{gm}(S). Si p : ℙ(E) → S désigne la projection canonique, le morphisme p^{∗} fait de H_{M}^{∗,∗}(ℙ(E)) une H_{M}^{∗,∗}(S)- algèbre bigraduée. Appliquant le foncteur Hom_{DM_{gm}(S)}(−, ℤ_{S}(∗)[∗]) à l’isomorphisme ϵ, on obtient donc :

Corollaire XII.3.1. — Pour tout fibré vectoriel E/S de rang n, H_{M}^{∗,∗}(ℙ(E)) est un H_{M}^{∗,∗}(S)- module bigradué libre avec pour base (1, c_{1}(λ_{E}), ..., c_{1}(λ_{E})^{n−1}).

Sous les hypothèses du corollaire, on déduit qu’il existe une unique suite de classe c_{i}(E) ∈ H_{M}^{2i,i}(S) pour un entier i ∈ [0, n] satisfaisant la relation :

(XII.7)  ∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}.p^{∗}(c_{i}(E)).c_{1}(λ_{E})^{n−i}.

Les éléments c_{i}(E) sont appelées les classes de Chern motiviques.

Remarque XII.6. — Ces classes vérifient toutes les propriétés habituelles des classes de Chern. On renvoie à [Dég08] pour plus de détails.

XII.2.3.c. — Soit E/S un fibré vectoriel de rang n. On définit la classe de Thom de E comme l’élément

∑_{i=0}^{n}(−1)^{i}.p^{∗}(c_{i}(E)).c_{1}(λ_{E})^{n−i}

de H_{M}^{2n,n}(ℙ(E ⊕ 𝟙)). Notons que par définition, sa restriction au schéma ℙ(E) est nulle. On note encore

th(E) : M_{S}(ℙ(E ⊕ 𝟙)) → ℤ_{S}(n)[2n]

le morphisme de DM_{gm}(S) induit par cette classe.

Corollaire XII.3.2. — Avec les notations précédentes, le morphisme th(E) induit un unique isomorphisme

\overline{th}(E) : M_{S}(ℙ(E ⊕ 𝟙)/ℙ(E)) → ℤ_{S}(n)[2n].

dans DM_{gm}(S).

Plus généralement, si X est un S-schéma lisse et E/X un fibré vectoriel de rang n, on obtient d’après le corollaire précédent et l’isomorphisme (XII.6) l’isomorphisme suivant dans DM_{gm}(S) :

(XII.8)  M_{S}T h(E) ⟶^{∼} M_{S}(X)(n)[2n]

appelé suivant F.Morel l’isomorphisme de Thom.

2.4. Théorème de pureté. —

XII.2.4.a. — Soit X un schéma noethérien, i : Z → X une immersion fermée d’idéal I. Le O_{X}-module I est alors localement de présentation fini.

On note I^{2} l’image I ⊗_{ℤ} I par le morphisme produit O_{X} ⊗_{ℤ} O_{X} → O_{X}. C’est un O_{X}-faisceau d’idéaux. Pour tout entier n > 0, on définit itérativement le O_{X}-faisceau d’idéaux I^{n}; par convention, I^{0} = O_{X}.

Pour tout entier n ≥ 0, le O_{X}-module quasi-cohérent I^{n}/I^{n+1} est à support dans Z, ce qui se traduit par l’isomorphisme :

I^{n}/I^{n+1} → i_{∗}i^{∗}(I^{n}/I^{n+1}).

Par abus de langage, on identifie I^{n}/I^{n+1} avec le O_{Z}-module quasi-cohérent i^{∗}(I^{n}/I^{n+1}).

Définition XII.7. — Considérons les notations ci-dessus.

1. On définit le faisceau conormal de i comme le O_{Z}-module quasi-cohérent N_{Z}(X) := I/I^{2}.

2. On définit le cône normal de Z dans X comme le Z-schéma affine :

C_{Z}(X) = Spec_{X} (⨁_{n∈ℕ} I^{n}/I^{n+1}) .

3. On dit que i est régulière si les conditions suivantes sont vérifiées :

(a) Le O_{Z}-module N_{Z}(X) est localement libre.

(b) Le morphisme canonique de O_{Z}-algèbres graduées :

Sym_{Z}(I/I^{2}) → ⨁_{n∈ℕ} I^{n}/I^{n+1}

est un isomorphisme.

Si i est une immersion fermée régulière, le cône normal de Z dans X est donc un fibré vectoriel que l’on note encore N_{Z}(X).

Remarque XII.7. — De cette définition et du théorème IV.4 on peut déduire que i est une immersion régulière si et seulement si pour tout point z de Z, l’idéal I_{z} de O_{X,z} admet une suite O_{X,z}-régulière de paramètres.

Ainsi, un anneau local A est régulier si et seulement si l’immersion de son point fermé est régulière dans le sens précédent. De même un schéma noethérien est régulier si et seulement si l’immersion de tout point fermé de X est régulière.

XII.2.4.b. — Soit X un schéma noethérien et i : Z → X une immersion fermée d’idéal I. On définit l’espace de déformation au cône normal D_{Z}(X) comme le spectre de la sous-O_{X}[t]-algèbre cohérente de O_{X}[t, t^{−1}] suivante :

A = ⨁_{n∈ℤ} I^{n}.t^{−n}

où I^{n} = O_{X} pour n < 0.

On dispose donc d’un morphisme canonique D_{Z}X → 𝔸_{X}^{1}. On obtient les calculs suivants :

1. Si on quotiente A par l’idéal (t), on obtient la O_{X}-algèbre ⨁_{n∈ℤ} I^{n}/I^{n+1} : la fibre de D_{Z}X au-dessus de 0 est le cône normal C_{Z}X.

2. On obtient un isomorphisme canonique A[t^{−1} = O_{X}[t, t^{−1}] : D_{Z}X|_{𝔾_{m}} = X × 𝔾_{m}. Ainsi, la fibre de D_{Z}X au-dessus de 1 est simplement X.

Bien sûr, D_{Z}(Z) = 𝔸_{Z}^{1} est un sous-schéma fermée de D_{Z}(X). En termes de paires fermées, on a donc obtenu des morphismes cartésiens :

(XII.9)  (X, Z) ⟶^{d_{1}} (D_{Z}X, 𝔸_{Z}^{1}) ⟵^{d_{0}} (C_{Z}X, Z).

où d_{1} (resp. d_{0}) désigne l’immersion canonique de la fibre au-dessus de 1 (resp. 0). Notons que les schémas D_{Z}X et C_{Z}X sont fonctoriels par rapport aux morphismes cartésiens de paires fermées. De plus, le diagramme (XII.9) est naturel par rapport à cette fonctorialité.

Rappelons que, suivant la définition VII.2.2.a, on associe à toute paire fermée (X, Z) sur S un motif relatif M_{Z,S}(X) dans DM_{gm}^{eff}(S) de manière fonctorielle par rapport aux morphismes cartésiens de paires fermées.

Proposition XII.4. — Soit (X, Z) une paire fermée lisse sur S. Alors, Z → X est une immersion fermée régulière et les morphismes

M_{S,Z}(X) ⟶^{d_{1∗}} M_{S,𝔸_{Z}^{1}} (D_{Z}X) ⟵^{d_{0∗}} M_{S,Z}(N_{Z}X) = M_{S}T h(N_{Z}X)

sont des isomorphismes dans DM_{gm}^{eff}.

Démonstration. — Pour démontrer ce théorème, on se ramène en utilisant la proposition XI.2 ainsi que la naturalité du diagramme (XII.9) au cas où (X, Z) = (𝔸_{Z}^{c}, Z). Mais dans ce cas, un calcul direct montre que D_{Z}X = 𝔸_{Z}^{c+1} et le théorème résulte de l’invariance par homotopie.

Comme corollaire de la proposition précédente et de l’isomorphisme (XII.8), on obtient le théorème de pureté :

Théorème XII.5. — Pour toute paire fermée (X, Z) lisse de codimension c sur S, il existe un isomorphisme canonique dans DM_{gm}^{eff} :

M_{S,Z}(X) ⟶^{𝔭_{X,Z}} M_{S}(Z)(c)[2c].

Rappelons que l’on dispose d’un triangle distingué canonique :

M_{S}(X − Z) → M_{S}(X) → M_{S,Z}(X) → M_{S}(X − Z)[1]

Définition XII.8. — A toute paire fermée lisse (X, Z) sur S de codimension c, on associe à partir du triangle précédent et de l’isomorphisme de pureté un triangle distingué :

M_{S}(X − Z) ⟶^{j^{∗}} M_{S}(X) ⟶^{i^{∗}} M_{S}(Z)(c)[2c] ⟶^{∂_{X,Z}} M_{S}(X − Z)[1]

appelé triangle de Gysin. Le morphisme i^{∗} est appelé le morphisme de Gysin associé à l’immersion fermée i : Z → S. Le morphisme ∂_{X,Z} est appelé le résidu associé à la paire fermée (X, Z).

On fera attention au fait que les motifs sont covariants. En cohomologie motivique par exemple, le morphisme de Gysin i^{∗} induit un pushout i_{∗}.

Exemple XII.3. — Sous les hypothèse de la définition précédente, on définit la classe fondamentale de Z dans X comme l’élément de H_{M}^{2c,c}(X) suivant :

η_{Z}(−X) = i_{∗}(1).

Lorsque i : X → L est la section nulle d’un fibré inversible L sur X, la classe fondamentale η_{X}(L) est simplement la classe de Chern c_{1}(L).

XII.2.4.c. — Considérons un morphisme cartésien de paires fermées (f, g) : (Y, T) → (X, Z) lisses sur S. On note i : Z → X, k : T → Y les immersions canoniques, h : (Y − T) → (X − Z) le morphisme induit par f.

Le morphisme induit sur les fibrés normaux se décompose :

N_{T} Y ⟶^{σ} g^{−1}N_{Z}X ⟶^{g′} N_{Z}X

où σ est un monomorphisme de fibrés vectoriels sur Z et g′ est induit par g. On dit que le morphisme (f, g) est transverse lorsque σ est un isomorphisme (de manière équivalente, la codimension de T dans Y est en tous points la même que la codimension de Z dans X).

Proposition XII.6. — Si (f, g) : (Y, T) → (X, Z) est un morphisme transverse de paires fermées lisses chacune de codimension c, le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{M_{S}(Y) \ar[r]^{k^{∗}} \ar[d]_{f_{∗}} & M_{S}(T)(c)[2c] \ar[r]^{∂_{Y,T}} \ar[d]^{g_{∗}} & M_{S}(Y − T)[1] \ar[d]^{h_{∗}} \\ M_{S}(X) \ar[r]^{i^{∗}} & M_{S}(Z)(c)[2c] \ar[r]^{∂_{X,Z}} & M_{S}(X − Z)[1].}

Cela résulte simplement de la fonctorialité de la déformation au cône normal et du diagramme (XII.9).

XII.2.4.d. — Reprenons les notations du paragraphe précédant la proposition. On suppose que (X, Z) (resp ; (Y, T)) est de codimension n (resp. m). Notons que nécessairement, m ≤ n. On pose e = n − m. C’est le rang du fibré vectoriel quotient E = g^{−1}N_{Z}X/N_{T} Y sur T. Considérons la classe de Chern motivique de E :

c_{e}(E) : M_{S}(T) → ℤ_{S}(e)[2e]

On définit un morphisme composé :

c_{e}(E) ⊠ g_{∗} : M_{S}(T) ⟶^{δ_{∗}} M_{S}(T) ⊗ M_{S}(T) ⟶^{c_{e}(E)⊗g_{∗}} M_{S}(T)(e)[2e]

Proposition XII.7. — Avec les notations qui précèdent, le diagramme suivant est commutatif :

\xymatrix{M_{S}(Y) \ar[r]^{k^{∗}} \ar[d]_{f_{∗}} & M_{S}(T)(m)[2m] \ar[r]^{∂_{Y,T}} \ar[d]^{c_{e}(E) ⊠ g_{∗}} & M_{S}(Y − T)[1] \ar[d]^{h_{∗}} \\ M_{S}(X) \ar[r]^{i^{∗}} & M_{S}(Z)(n)[2n] \ar[r]^{∂_{X,Z}} & M_{S}(X − Z)[1]}

Cette proposition se démontre à nouveau en utilisant la naturalité du diagramme (XII.9).

Exemple XII.4. — Considérons un paire fermée (X, Z) lisse sur S de codimension n. Supposons qu’il existe un fibré vectoriel E/X de rang n et une section s : X → E telle que s est transverse à la section nulle et Z = s^{−1}s_{0}(X).

Alors, dans ce cas, la proposition précédente donne :

η_{Z}(X) = c_{n}(E).

On retrouve en particulier le calcul de l’exemple XII.3.

Remarque XII.8. — Notons finalement qu’on peut démontrer que le morphisme de Gysin d’une immersion fermée est fonctoriel : pour des immersions fermées (de codimension pure)

T ⟶^{k} Z ⟶^{i} X

entre S-schémas lisses, la composée suivante

M_{S}(X) ⟶^{i^{∗}} M_{S}(Z)(n)[2n] ⟶^{k^{∗}} M_{S}(T)(m + n)[2m + 2n]

est égale à (ki)^{∗}.

3. Morphisme de Gysin et dualité

XII.3.0.e. — Rappelons qu’un morphisme de schémas f : Y → X est dit (fortement) projectif s’il admet une factorisation

Y ⟶^{i} ℙ(E) ⟶^{p} X

où i est une immersion fermée et p la projection d’un fibré projectif.

Supposons pour simplifier que la codimension de i (resp. le rang de E sur X) soit constant égale à c (resp. n + 1 pour un entier n). Notons que f est alors de dimension relative constante égale à d = n − c.

Supposons que f est un morphisme de S-schémas lisses. On suppose que le rang de E/X est constant et on pose n = rg_{X}(E) − 1. On définit alors un morphisme p^{∗} comme la composée suivante :

M_{S}(X)(n)[2n] → ⨁_{i=0}^{n} M_{S}(X)(i)[2i] → M_{S}(ℙ(E))

où le premier morphisme est l’inclusion canonique et le second est la réciproque de l’isomorphisme du fibré projectif (théorème XII.3). On peut vérifier que le morphisme composé :

(XII.10)  M_{S}(X)(n)[2n] ⟶^{p^{∗}} M_{S}(ℙ(E)) ⟶^{i^{∗}} M_{S}(Y)(c)[2c]

est indépendant de la factorisation choisie.^{(5)}

Définition XII.9. — Avec les notations qui précèdent, on définit le morphisme de Gysin associé à f comme le morphisme composé suivant :

f^{∗} : M_{S}(X)(d)[2d] → M_{S}(Y)

obtenu en choisissant une factorisation comme ci-dessus et en tensoriant le morphisme (XII.10) par ℤ_{S}(−c)[−2c].

3.1. Filtration par coniveau. —

Définition XII.10. — Soit X un schéma.

Un drapeau de X est une suite décroissante (Z^{p})_{p∈ℕ} de sous-schémas fermés de X telle que codim_{X}(Z^{p}) ≥ p. On note 𝒟(X) l’ensemble des drapeaux de X, ordonné par inclusion.

Par commodité, on considèrera qu’un drapeau Z^{∗} = (Z^{p})_{p∈ℕ} est ℤ-gradué en posant Z^{−n} = X pour n > 0. L’ensemble des drapeaux est non vide et filtrant.

Rappelons la définition suivante :

Définition XII.11. — Soit 𝒜 une catégorie abélienne. Un couple exact de 𝒜 est la donnée d’objets ℤ^{2}-gradués D^{∗∗} et E^{∗∗} et d’une suite exacte

\xymatrix{D^{∗∗} \ar[r]^{a}_{(−1,1)} & D^{∗∗} \ar[r]^{b}_{(1,0)} & E_{1}^{∗∗} \ar[r]^{c}_{(0,0)} & D^{∗∗}.}

formées de morphismes homogènes dont le degré est indiqué par chaque couple d’entiers.

On associe à un tel couple exact une suite spectrale dont le premier terme est l’objet E_{1}^{p,q} avec pour différentielle

d_{1}^{p,q} : E_{1}^{p,q} → E_{1}^{p+1,q}

égale à d_{1} = b ∘ c.

(5)Le point clé pour cette vérification est de montrer que si E = F ⊕ 𝟙 et s : X → ℙ(F ⊕ 𝟙) est la section canonique, s^{∗}p^{∗} = 1. Voir [Dég07, lem. 2.6] dans le cas où S est le spectre d’un corps parfait et [Dég08, lem. 5.11] dans le cas général.

XII.3.1.a. — Soit S un schéma régulier et X un S-schéma lisse. Considérons un drapeau Z^{∗} de X. Pour tout entier p ∈ ℤ, on peut considérer dans DM_{gm} les triangles distingués suivants :

M(X − Z^{p}) → M(X − Z^{p+1}) → M(X − Z^{p+1}/X − Z^{p}) → M(X − Z^{p})[1]

Fixons un entier n ∈ ℤ. Considérant un couple d’entiers (p, q) ∈ ℤ^{2}, on en déduit en cohomologie motivique une suite exacte longue :

\xymatrix{H_{M}^{p+q−1,n}(X − Z^{p+1}) \ar[r]^{a} & H_{M}^{p+q−1,n}(X − Z^{p}) \ar[r]^{b} & H_{M}^{p+q,n}(X − Z^{p+1}/X − Z^{p}) \ar[r]^{c} & H_{M}^{p+q,n}(X − Z^{p+1})}

qui est naturelle par rapport à l’inclusion des drapeaux. Passant à la limite inductive suivant l’ensemble filtrant des drapeaux de X, on en déduit donc un couple exact de groupes abéliens :

D^{p,q}(X, n) = \underrightarrow{lim}_{Z^{∗}∈𝒟(X)} H_{M}^{p+q,n}(X − Z^{p+1}),
E_{1}^{p,q}(X, n) = \underrightarrow{lim}_{Z^{∗}∈𝒟(X)} H_{M}^{p+q,n}(X − Z^{p+1}/X − Z^{p}).

(XII.11)

Définition XII.12. — La suite spectrale associée au couple exact précédent est appelée la suite spectrale du coniveau pour la cohomologie motivique de X en poids n.

Notons que si p < 0 ou p > dim(X), E_{1}^{p,q}(X, n) = 0. Il en résulte que la suite spectrale est convergente. Plus précisément, le cohomologie motivique H_{M}^{i,n}(X) admet une filtration dont le cran p est donnée par la formule^{(6)}

N^{p}H_{M}^{i,n}(X) = Ker (H_{M}^{i,n}(X) → \underrightarrow{lim}_{Z^{∗}} H_{M}^{i,n}(X − Z^{p})) .

La suite spectrale du coniveau converge vers le groupe abélien filtré (H_{M}^{∗,n}(X), N^{∗}) : pour tout (p, q) ∈ ℤ^{2}, on obtient un isomorphisme canonique :

(XII.12)  E_{∞}^{p,q}(X, n) = N^{p}H_{M}^{p+q,n}(X)/N^{p+1}H_{M}^{p+q,n}(X)

XII.3.1.b. — Supposons mainteant que S est le spectre d’un corps parfait k. Notons que dans les conditions du paragraphe XII.3.1.a, si Z^{p+1} contient le lieu singulier de Z^{p} sur k, le théorème de pureté fournit un isomorphisme canonique :

H_{M}^{p+q,n}(X − Z^{p+1}/X − Z^{p}) = H_{M}^{q−p,n−p}(Z^{p} − Z^{p+1})

On en déduit le résultat suivant :

Proposition XII.8. — Pour tout k-schéma lisse X et tout triplet d’entiers (p, q, n) ∈ ℤ^{3},

E_{1}^{p,q}(X, n) = ⨁_{x∈X^{(p)}} H_{M}^{q−p,n−p}(κ(x))

où l’on rappelle que X^{(p)} désigne l’ensemble des points de codimension p et κ(x) désigne le corps résiduel de x.

XII.3.1.c. — La suite spectrale du coniveau permet donc de tirer des informations concernant la cohomologie motivique d’un k-schéma lisse à partir de la cohomologie motivique de ses corps résiduels.

(6)Cette filtration est appelée suivant Grothendieck la filtration par coniveau.

Pour illustrer ce principe, on va utiliser les résultats suivants^{(7)} concernant la cohomologie motivique d’un corps k (quelconque) :

H_{M}^{i,j}(k) = \begin{cases}ℤ & si i = j = 0, \\ k^{×} & si i = j = 1, \\ 0 & si i > j ou j < 0. \end{cases}

D’après la proposition précédente, on en déduit donc : E_{1}^{p,q}(X, n) = 0 si p ∉ [0, n] ou q > n. On peut donc visualiser la suite spectrale du coniveau associée à (X, n) comme suit :

[figure: •; p; q; 0; 0; p = n; q = n; 2n]

où seule la partie hachurée est non nulle. Dans la cas p + q = n, il en résulte donc :

E_{∞}^{p,q}(X, n) = \begin{cases}E_{2}^{p,q}(X, n) & si p = q = n, \\ 0 & sinon. \end{cases}

On obtient plus précisément le résultat suivant :

Proposition XII.9. — Avec les notations et hypothèses qui précèdent, la différentielle aboutissant au terme E_{1}^{n,n}(X, n) s’identifie au morphisme (II.26) :

E_{1}^{n−1,n}(X, n) = ⊕_{x∈X^{(n−1)}}κ(x)^{×} ⟶^{d_{X}} Z^{n}(X) = E_{1}^{n,n}(X, n).

D’après la définition II.28, on en déduit donc un isomorphisme canonique :

(XII.13)  H_{M}^{2n,n}(X) = CH^{n}(X).

Références

[Dég07] F. Déglise – « Around the gysin triangle I », (revised version), août 2007. [Dég08] , « Around the gysin triangle II », Doc. Math. 13 (2008), p. 613–675.

[SV96] A. Suslin & V. Voevodsky – « Singular homology of abstract algebraic varieties », Invent. Math. 123 (1996), no. 1, p. 61–94.

2009-2010 Frédéric Déglise, CNRS, LAGA (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, 99 avenue Jean-Baptiste

Clément, 93430 Villetaneuse FRANCE, Tel. : +33 1 49 40 35 77 • E-mail : deglise@math.univ-paris13.fr

Url : http://www.math.univ-paris13.fr/~deglise/ (7)Compte tenu du théorème XII.2, cela résulte du corollaire XIII.9.2 et du théorème de simplification ?? de Voevodsky.