Table des matières

Cours XIII. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Quelques exemples de motifs mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Dimension nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Dimension un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Fonctorialité des complexes motiviques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1. Catégories de modèles (survol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Foncteurs dérivés (survol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3. Faisceaux avec transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Catégorie stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

COURS XIII CONCLUSION

1. Quelques exemples de motifs mixtes

Pour les exemples qui suivent, on se place dans le cas où la base est un corps parfait k. Tous les k-schémas sont supposés séparés de type fini.

Pour tout entier n ∈ ℕ, on notera ℒ_{k,≤n} la sous catégorie pleine de ℒ_{k} formée des k-schémas de dimension inférieure à n. De même, on notera

DM_{gm,≤n}^{eff}(k)

la plus petite sous-catégorie triangulée épaisse de DM_{gm}^{eff}(k) contenant les motifs des schémas de ℒ_{k,≤n}.

1.1. Dimension nulle. —

XIII.1.1.a. — Soit k̄ une cloture algébrique de k et π son groupe de Galois. C’est un groupe pro-fini qui est donc naturellement muni d’une topologie canonique.

On note F^{π} la catégorie des ensembles discrets finis munis d’une action continue de π. Si X est un k-schéma de dimension nulle, l’ensemble fini X(k̄) est muni d’une action continue de π. Le foncteur qui s’en déduit :

ℒ_{k,≤0} → F^{π}, X ↦ X(k̄)

est d’après la théorie de Galois interprétée par Grothendieck une équivalence entre la catégorie des k-schémas de dimension nulle et F^{π}.

Notons ℤ[F^{π}] la catégorie additive libre engendrée par F^{π}.

Proposition XIII.1. — La restriction du foncteur graphe

(XIII.1)  F^{π} ≃ ℒ_{k,≤0} → ℒ_{k}^{cor}

induit une équivalence de catégorie

ℤ[F^{π}] → ℒ_{k,≤0}^{cor}.

La preuve est laissée en exercice.^{(1)} On en déduit le résultat suivant :

c_{k} (E, L) = ℤ.π_{0}(Spec(E ⊗_{k} L))

(1)Cela résulte essentiellement de l’isomorphisme où E/k et L/k sont des extensions de corps finies.

Proposition XIII.2. — Le foncteur (XIII.1) induit une équivalence de catégories :

K^{b}(F^{π})^{♯} → DM_{gm,≤0}^{eff}(k).

Démonstration. — Le foncteur est évidemment essentiellement surjectif par définition. Il reste à montrer qu’il est pleinement fidèle. Considérons un k-schéma lisse connexe de dimension nulle X = Spec(E). Considérant les notations du paragraphe VII.2.1.a, il suffit de vérifier que le préfaisceau

ℒ_{k}^{cor} → 𝒜b, Y ↦ c_{k} (Y, X)

envoie les 𝒱_{k}-équivalences sur des quasi-isomorphismes. Or c’est évident du fait que c_{k} (Y, X) = ℤ.π_{0}(Y ×_{k} X).

XIII.1.1.b. — Etant donnée une catégorie additive 𝒜, on note 𝒜 ⊗ ℚ la catégorie ℚ-linéaire associée : ses objets sont les objets de 𝒜 et les morphismes entre deux objets A et B est formé par le ℚ-espace vectoriel : Hom_{𝒜} (A, B) ⊗_{ℤ} ℚ.

La catégorie ℤ[F^{π}] ⊗ ℚ est bien connue : il s’agit de la catégorie ℚ[π] des ℚ-représentations de π, autrement dit des ℚ-espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action continue de π. Il est bien connu que cette catégorie est abélienne semi-simple. La proposition précédente admet donc le corollaire suivante :

Corollaire XIII.2.1. — Le foncteur (XIII.1) induit une équivalence de catégories :

D^{b}(ℚ[π]) ≃ DM_{gm,≤0}^{eff}(k) ⊗ ℚ.

1.2. Dimension un. —

XIII.1.2.a. — On considère à nouveau une cloture spérable k̄ de k et π son groupe de Galois.

La catégorie des schémas en groupes est une catégorie additive. La définition suivante est due à Deligne :

Définition XIII.1 (Deligne). — Un 1-motif sur k est un triple (Λ, G, d) où Λ est un réseau (groupe abélien libre de rang fini) muni d’une action continue de π, G est un schéma en groupe semi-abélien^{(2)} et d : Λ → G(k̄) est un morphisme π-équivariant.

On identifie un tel 1-motif au complexe de schémas en groupes

Λ ⟶^{d} G

qu’il définit. Le groupe G est placé en degré 0.

Ainsi, un morphisme de 1-motifs est un morphisme des complexes associés. On note 1− ℳ ot_{k} la catégorie associée.

Pour le théorème qui suit, on utilise le lemme suivant :

Lemme XIII.3. — Soit G un k-schéma en groupes.

Alors, il existe un faisceau avec transferts G^{tr} sur k tel que G^{tr} ∘ γ est le préfaisceau représenté par G. Ce faisceau dépend fonctoriellement de G.

Dans le cas où G = 𝔾_{m}, on retrouve la structure XII.2.

XIII.1.2.b. — Ainsi, si [Λ → G] est un 1-motif, on lui associe canoniquement un complexe de faisceaux avec transferts [Λ^{tr} → G^{tr}] définissant un foncteur :

(XIII.2)  1− ℳ ot_{k} → C(𝒩_{k}^{tr}).

La catégorie 1− ℳ ot_{k} n’est pas abélienne, mais par contre la catégorie rationelle associée 1−ℳ ot_{k}^{ℚ} est bien abélienne . Le théorème qui suit a été annoncé par Voeovdsky et démontré par Orgogozo (cf. [Org04]) :

(2)i.e. un schéma en groupes extension d’un tore par un schéma abélien.

Théorème XIII.4. — Le foncteur (XIII.2) induit une équivalence de catégorie :

D^{b}(1−ℳ ot_{k}^{ℚ}) → DM_{gm,≤1}^{eff}(k) ⊗ ℚ.

Remarque XIII.1. — si k est un corps fini, la catégorie 1−ℳ ot_{k}^{ℚ} est semi-simple. Dans le cas général, tout objet de 1−ℳ ot_{k}^{ℚ} admet une filtration a trois crans dont les gradués associés sont semi-simples. Cette filtration s’appelle la filtration par le poids.

2. Fonctorialité des complexes motiviques

2.1. Catégories de modèles (survol). — On commence par fixer une terminologie pratique :

Définition XIII.2. — Soit 𝒞 une catégorie quelconque. Soit f : X → Y et g : A → B des morphismes de 𝒞.

1. On dit que f a la propriété de relèvement à droite par rapport à g ou que g a la propriété de relèvement à gauche par rapport à f si pour tout carré commutatif

\xymatrix{A \ar[r]^{j} \ar[d]_{g} & X \ar[d]^{f} \\ B \ar[r]^{i} & Y}

il existe un morphisme h : B → X rendant les deux triangles du diagramme suivant commutatifs :

\xymatrix{A \ar[r]^{j} \ar[d]_{g} & X \ar[d]^{f} \\ B \ar[r]^{i} \ar@{-->}[ur]^{h} & Y}

2. On dit que f est un rétracte de g si il existe un diagramme commutatif de la forme suivante :

\xymatrix{X \ar[r] \ar[d]_{f} \ar[rr]^{1_{X}} & A \ar[d]|{g} \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ Y \ar[r] \ar[rr]_{1_{Y}} & B \ar[r] & Y}

Exemple XIII.1. — Dans une catégorie abélienne 𝒜, un objet P de 𝒜 est projectif si et seulement si le morphisme canonique 0 → P a la propriété de relèvement à gauche par rapport à tout épimorphisme.

Dualement un objet I de 𝒜 est injectif si et seulement si le morphisme canonique I → 0 a la propriété de relèvement à droite par rapport à tout monomorphisme.

La définition suivante est due à Quillen :

Définition XIII.3. — Une catégorie de modèles est une catégorie 𝒞 munie de trois classes de flèches (W, F ib, Cof) telles que :

(MC1) 𝒞 admet des limites projectives et inductives. On note ∗ (resp. ∅) l’objet final (resp. initial)

de 𝒞. (MC2) Pour toutes flèches composables f, g de 𝒞, si deux des trois flèches f, g, fg sont dans W, la

troisième l’est aussi. (MC3) Si f est un rétracte de g et si g appartient à W (resp. F ib, Cof) alors f y appartient aussi.

(MC4) Les flèches de Cof ∩ W (resp. Cof) ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux

flèches de F ib (resp. F ib ∩ W). (MC5) Toute flèche f de 𝒞 admet une factorisation f = pi telle que p ∈ Cof et i ∈ F ib ∩ W (resp.

p ∈ Cof ∩ W et i ∈ F ib). Dans ce cas, on adopte la terminologie suivante : les flèches de W (resp. F ib, Cof, F ib ∩ W, Cof ∩ W) sont appelées les équivalences faibles (resp. fibrations, cofibrations, fibrations triviales, cofibrations triviales).

De plus, on dit qu’un objet X de 𝒞 est fibrant (resp. cofibrant) si le morphisme canonique X → ∗ (resp. ∅ → X) est une fibration (resp. cofibration).

On déduit de ces axiomes la propriété très importante suivante : pour tout objet X de 𝒞, il existe un flèche X_{c} → X (resp. X → X_{f}) qui est une fibration triviale (resp. cofibration triviale) et telle que X_{c} est cofibrant (resp. X_{f} est fibrant).

Remarque XIII.2. — Il résulte des axiomes que les fibrations (resp. cofibrations) sont exactement les morphismes ayant la propriété de relèvement à droite (resp. à gauche) par rapport aux cofibrations triviales (resp. fibrations triviales).

Ainsi, étant donnée une classe de flèches W, la donnée de F ib (resp. Cof) détermine de manière unique, si elle existe, la structure de catégorie de modèles sur W.

Exemple XIII.2. — Soit 𝒜 une catégorie abélienne de Grothendieck admettant des limites projectives quelconques. On peut définir deux structures de catégories de modèles canoniques sur C(𝒜) dont les équivalences faibles sont les quasi-isomorphismes.

1. Structure projective : Les fibrations sont les épimorphismes de complexes. On peut alors caractériser les cofibrations comme les monomorphismes de complexes dont le conoyau est cofibrant. Un complexe K cofibrant pour la structure projectif est dit projectivement cofibrant. Si K est borné supérieurement, K est projectivement cofibrant si et seulement si pour tout entier n ∈ ℤ, K^{n} est un objet projectif.

2. Structure injective : Les cofibrations sont les monomorphismes de complexes. On peut alors caractériser les fibrations comme les épimorphismes de complexes dont le noyau est fibrant. Un complexe L fibrant pour la structure injective est dit injectivement fibrant. Si L est borné inférieurement, L est injectivement fibrant si et seulement si pour tout entier n ∈ ℤ, K^{n} est un objet injectif.

On renvoie à [Hov99] pour ce résultat.

Le théorème fondamental de Quillen est le suivant :

Théorème XIII.5. — 1. Pour tout objet cofibrant A et tout objet fibrant X, il existe une relation d’équivalence ∼_{h} sur l’ensemble Hom_{𝒞} (A, B) telle que

Hom_{𝒞 [W^{−1}]} (A, X) = Hom_{𝒞} (A, X)/ ∼_{h} .

2. Soit 𝒞_{cf} la sous-catégorie pleine de 𝒞 formée des objets fibrants et cofibrants. La relation

∼_{h} est compatible à la composition dans 𝒞_{cf}. Le morphisme d’inclusion canonique

𝒞_{cf} → 𝒞

induit une équivalence de catégories :

𝒞_{cf}/ ∼_{h}→ 𝒞 [W^{−1}].

Ainsi, l’existence d’une structure de catégories de modèles permet de contrôler les morphismes de la catégories localisées 𝒞 [W^{−1}].

Exemple XIII.3. — Reprenons les notations de l’exemple XIII.2.

Pour la structure projective ou injective, la relation ∼_{h} qui apparaît dans le théorème précédent est précisément la relation d’homotopie sur les complexes. On en déduit deux façons de calculer les morphismes entre deux complexes K et L dans la catégorie dérivée :

1. Structure projective : Le complexe L est trivialement fibrant pour la structure projective. Il existe un quasi-isomorphisme épimorphique de complexe K → K′ tel que K′ est projectivement cofibrant. Alors,

Hom_{D(𝒜)} (K, L) = Hom_{K(𝒜)} (K′, L).

Notons que si K est borné supérieurement, K′ est une résolution projective de K au sens classique. Notons K^{projc}(𝒜) la sous-catégorie pleine de K(𝒜) formée des complexes projectivement cofibrants. Le morphisme canonique

K^{projc}(𝒜) → D(𝒜)

est une équivalence de catégories.

2. Structure injective : Le complexe K est trivialement cofibrant pour la structure injective. Il existe un quasi-isomorphisme monomorphique de complexe L′ → L tel que L′ est injectivement cofibrant. Alors,

Hom_{D(𝒜)} (K, L) = Hom_{K(𝒜)} (K, L′).

Notons que si L est borné inférieurement, L′ est une résolution injective de L au sens classique. Notons K^{injf}(𝒜) la sous-catégorie pleine de K(𝒜) formée des complexes injectivement cofibrants. Le morphisme canonique

K^{injf}(𝒜) → D(𝒜)

est une équivalence de catégories. Ainsi, la théorie de Quillen permet de généraliser l’algèbre homologique classique.

Remarque XIII.3. — On déduit de cet exemple le fait intéressant suivant : le morphisme canonique ℒ_{S}^{cor} → 𝒫_{S}^{tr} induit un foncteur pleinement fidèle :

K^{b}(ℒ_{S}^{cor}) → D(𝒫_{S}^{tr}).

En effet, tout complexe borné de préfaisceaux avec transferts représentables est projectivement cofibrant.

2.2. Foncteurs dérivés (survol). — Rappelons le lemme suivant :

Lemme XIII.6. — Soit 𝒞 et 𝒟 deux catégories de modèles et

(XIII.3)  F : 𝒞 ⇆ 𝒟 : G

une adjontion de catégories.

Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) F préserve les cofibrations et les cofibrations triviales. (ii) F préserve les cofibrations et les équivalences faibles entre objets cofibrants. (iii) G préserve les fibrations et les fibrations triviales. (iv) G préserve les fibrations et les équivalences faibles entre objets fibrants.

Définition XIII.4. — Sous les hypothèses du lemme précédent, on dit que (F, G) est une adjonction de Quillen si les conditions équivalentes (i)-(iv) sont vérifiées.

Le théorème suivant est encore du à Quillen :

Théorème XIII.7. — Pour toute adjonction de Quillen de la forme (XIII.3), il existe :

(a) un foncteur dérivé à gauche LF : Ho(𝒞) → Ho(𝒟) de 𝒞 → 𝒟 → Ho(𝒟),

(b) un foncteur dérivé à droite RG : Ho(𝒞) → Ho(𝒟) de 𝒟 → 𝒞 → Ho(𝒞), telle que :

1. Pour tout objet cofibrant A de 𝒞, le morphisme structural LF (A) → F (A) est un isomorphisme.

2. Pour tout objet fibrant X de 𝒟, le morphisme structural G(X) → RG(X) est un isomor-

phisme. De plus, les fonteurs (LF, RG) sont adjoints.

On peut encore ajouter le résultat suivant :

Proposition XIII.8. — Considérons des adjonctions de Quillen :

\xymatrix{𝒞 \ar[r]^{F} & 𝒞′ \ar[r]^{F′} \ar[l]^{G} & 𝒞′′ \ar[l]^{G′}}

Alors, (F′ ∘ F, G ∘ G′) est une adjonction de Quillen et les transformations naturelles canoniques :

LF′ ∘ LF → L(F′ ∘ F)
R(G ∘ G′) → RG ∘ RG′

sont des isomorphismes.

Exemple XIII.4. — Considérons l’adjonction de catégories

a^{tr} : 𝒫_{S}^{tr} ⇆ 𝒩_{S}^{tr} : O^{tr}.

Considérons les catégories C(𝒫_{S}^{tr}) et C(𝒩_{S}^{tr}) munies de leur structure injective de catégorie de modèles. Du fait que a^{tr} est exact, il préserve les quasi-isomorphismes. De plus, il préserve les cofibrations, puisque ce sont les monomorphismes. On en déduit des foncteurs dérivés :

a^{tr} : D(𝒫_{S}^{tr}) ⇆ D(𝒩_{S}^{tr}) : RO^{tr}.

Rappelons que a^{tr} se dérive trivialement. Par contre, RO^{tr} se dérive en considérant une résolution injectivement fibrante.

Du fait que O^{tr} est pleinement fidèle, on déduit formellement que RO^{tr} est pleinement fidèle. Ainsi, D(𝒩_{S}^{tr}) s’identifie à la localisation de la catégorie D(𝒫_{S}^{tr}) par la sous-catégorie localisante formée des complexes K tels que a^{tr}(K) est quasi-isomorphe à 0.

2.3. Faisceaux avec transferts. — Rappelons qu’on dit qu’un carré commutatif de complexes de groupes abéliens

\xymatrix{K′ \ar[r]^{f′} \ar[d] & L′ \ar[d] \\ K \ar[r]^{f} & L}

est homotopiquement cartésien si le morphisme induit sur les cônes C(f) → C(f′) est un quasiisomorphisme.

Définition XIII.5. — Soit K un complexe de préfaisceaux avec transferts sur S. On dit que K vérifie la propriété de Brown-Gersten si pour tout carré Nisnevich distingué (définition VII.9)

\begin{matrix}W & k & [figure] & g & [figure] & Δ & V & f & [figure] & U & j & [figure] & X. \\ (XIII.4) \end{matrix}

le carré K(Δ) est homotopiquement cartésien.

L’intérêt de cette définition réside dans le lemme suivant, qui est une généralisation, due à Morel-Voevodsky, d’un lemme de Brown-Gersten :

Théorème XIII.9. — Soit K et L deux complexes de préfaisceaux avec transferts satisfaisant la propriété de Brown-Gersten, et f : K → L un morphisme de complexes. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. a^{tr}(f) : a^{tr}(F) → a^{tr}(G) est un quasi-isomorphisme (de complexes de faisceaux).

2. Pour tout S-schéma lisse X, f_{X} : K(X) → L(X) est un quasi-isomorphisme (autrement dit, f est un quasi-isomorphisme de complexes de préfaisceaux).

A partir de ce lemme et de l’exemple XIII.4, on obtient :

Corollaire XIII.9.1. — La catégorie D(𝒩_{S}^{tr}) est équivalente à la sous-catégorie pleine de D(𝒫_{S}^{tr}) formée des complexes de préfaisceaux avec transferts satisfaisant la propriété de Brown-Gersten.

Il en résulte que DM^{eff}(S) est la localisation de la catégorie D(𝒫_{S}^{tr}) par rapport à la souscatégorie localisante engendrée par les complexes de la forme :

1. Pour tout S-schéma lisse X,

… 0 → ℤ_{S}^{tr}(𝔸_{X}^{1}) → ℤ_{S}^{tr}(X) → 0 …

2. Pour tout carré Nisnevich distingué Δ de la forme (XIII.4),

… 0 → ℤ_{S}^{tr}(W) \underrightarrow{(\begin{matrix}g_{∗} \\ −k_{∗} \end{matrix})} ℤ_{S}^{tr}(U) ⊕ ℤ_{S}^{tr}(V) ⟶^{(j_{∗},f_{∗})} ℤ_{S}^{tr}(X) → 0 …

D’après la remarque XIII.3, le corollaire suivant est maintenant une conséquence formelle de la définition de DM_{gm}^{eff}(S) :

Corollaire XIII.9.2. — Le foncteur (IX.82)

DM_{gm}^{eff}(S) → DM^{eff}(S)

est pleinement fidèle.

On dit qu’un morphisme de complexes de faisceaux avec transferts est une 𝔸^{1}-équivalence faible si c’est un isomorphisme dans DM^{eff}(S).

Théorème XIII.10. — La catégorie C(𝒩_{S}^{tr}) admet deux structures de catégorie de modèles telle que respectivement :

1. les équivalences faibles sont les quasi-isomorphismes (resp. les 𝔸^{1}-équivalences faibles).

2. les fibrations sont les épimorphismes de complexes dont le noyau vérifie la propriété de Brown-Gersten (resp. la propriété de Brown-Gersten et d’invariance par homotopie).

Les complexes cofibrants sont les mêmes pour ces deux structures. Tout complexe borné dont les composantes sont de la forme ℤ_{S}^{tr}(X) pour un S-schéma lisse X est cofibrant.

Ainsi, la catégorie DM^{eff}(S) est la catégorie homotopique associée à une catégorie de modèles sur C(𝒩_{S}^{tr}). On appelle cette dernière la structure 𝔸^{1}-locale. L’autre structure de catégorie de modèles considérée dans le théorème précédent est appelée la structure Nisnevich locale.

XIII.2.3.a. — Le même théorème est vrai si l’on remplace 𝒩_{S}^{tr} par 𝒩_{S} et ℤ_{S}^{tr}(X) par ℤ_{S}(X). Or, le foncteur graphe γ : ℒ_{S} → ℒ_{S}^{cor} induit une adjonction de catégories :

γ^{∗} : 𝒩_{S} ⇆ 𝒩_{S}^{tr} : γ_{∗}.

Le foncteur γ^{∗} est caractérisé par la propriété : γ^{∗}(ℤ_{S}(X)) = ℤ_{S}^{tr}(X).

Considérons les catégories C(𝒩_{S}) et C(𝒩_{S}^{tr}) munies de leur structure Nisnevich locale. Notons que d’après le corollaire IX.12.4, le foncteur γ_{∗} est exact : il préserve donc les quasi-isomorphismes. Par ailleurs, de manière évidente, il préserve les objets fibrants et donc les fibrations. Ainsi, (γ^{∗}, γ_{∗}) est une adjonction de Quillen.

Considérons un S-schéma lisse X et un complexe K de faisceaux avec transferts. Comme ℤ_{S}(X) est cofibrant, Lγ^{∗}(ℤ_{S}(X)) = ℤ_{S}^{tr}(X). Comme γ_{∗} est exact, Rγ_{∗}(K) = γ_{∗}(K). Par adjonction, on en déduit donc :

Corollaire XIII.10.1. — Avec les hypothèses et notations ci-dessus, on obtient un isomorphisme canonique :

H_{Nis}^{i}(X, γ_{∗}K) = Hom_{D(𝒩_{S})} (ℤ_{S}(X), γ_{∗}K[i]) = Hom_{D(𝒩_{S})} (ℤ_{S}^{tr}(X), K[i]).

XIII.2.3.b. — Considérons un morphisme f : T → S entre Σ-schémas lisses. Alors, l’adjonction

f^{∗} : 𝒩_{S}^{tr} ⇆ 𝒩_{T}^{tr} : f_{∗}

est une adjonction de Quillen pour la structure Nisnevich locale (resp. 𝔸^{1}-locale) : il est évident que f_{∗} respecte les objets fibrants, et donc les fibrations. Il résulte du lemme XIII.9 que f_{∗} préserve les quasi-isomorphismes (resp. 𝔸^{1}-équivalences) entre complexes fibrants. On conclut d’après le lemme XIII.6.

On en déduit donc des foncteurs dérivés :

Lf^{∗} : DM^{eff}(S) ⇆ DM^{eff}(T) : Rf_{∗}

Notons que par définition, Lf^{∗}(M_{S}(X)) = M_{T} (X ×_{S} T).

Le même raisonnement s’applique dans le cas où f est lisse. On en déduit alors des foncteurs dérivés :

Lf_{♯} : DM^{eff}(T) ⇆ DM^{eff}(S) : Rf^{∗} = f^{∗} = Lf^{∗}.

Par définition, pour tout T -schéma lisse Y, Lf_{♯}(M_{T} (Y)) = M_{S}(Y).

On déduit formelllement à partir de ces définitions le résultat suivant : pour tout carré cartésien de S-schéma lisses

\xymatrix{T′ \ar[r]^{q} \ar[d]_{g} & S′ \ar[d]^{f} \\ T \ar[r]^{p} & S.}

tel que p est lisse séparé de type fini et f est un morphisme dans ℒ_{Σ}, il existe une isomorphisme naturel :

Lq_{♯}Lg^{∗} ⟶^{∼} Lf^{∗}Lp_{♯}.

Citons enfin le résultat suivant :

Proposition XIII.11. — Les bifoncteurs respectifs suivants :

⊗_{S}^{tr} : C(𝒩_{S}^{tr}) × C(𝒩_{S}^{tr}) → C(𝒩_{S}^{tr})
\underline{Hom}_{S} : C(𝒩_{S}^{tr})^{op} × C(𝒩_{S}^{tr}) → C(𝒩_{S}^{tr})

admettent des foncteurs dérivés respectivement à gauche et à droite par rapport aux 𝔸^{1}-équivalences faibles.

Ce résultat s’obtient à l’aide le la structure de catégorie de modèles du théorème XIII.10. Ainsi, pour tous S-schémas lisse X et Y, et tout complexe K invariant par homotopie et vérifiant la propriété de Brown-Gersten, on obtient :

1. M_{S}(X) ⊗_{S}^{tr,L} M_{S}(Y) = M_{S}(X ×_{S} Y).

2. Le complexe R \underline{Hom}_{S}(M_{S}(X), K) est 𝔸^{1}-équivalent au complexe de faisceaux avec transferts

ℒ_{S}^{cor} → C(𝒜b), Z/S ↦ K(X ×_{S} Z).

Plus généralement, le foncteur DM_{gm}^{eff}(S) → DM^{eff}(S) est monoïdal symétrique.

3. Catégorie stable

Il est possible d’inverser le motif ℤ(1) pour le produit tensoriel dérivé de DM^{eff}(S). On obtient ainsi une catégorie triangulée monoïdale symétrique ainsi que des foncteurs adjoints :

Σ^{∞} : DM^{eff}(S) ⇆ DM(S) : Ω^{∞}

tel que Σ^{∞} est monoïdal symétrique et l’objet Σ^{∞}ℤ_{S}(1) est inversible pour le produit tensoriel. J’appelle les objets de DM(S) des spectres motiviques.

Notons que la catégorie DM(S) est même la catégorie homotopique^{(3)} universelle vérifiant ces propriétés.

Citons à ce propos le théorème suivant du à Voevodsky :

Théorème XIII.12 (Simplification). — Si k est un corps parfait, le foncteur Σ^{∞} : DM^{eff}(k) → DM(k) est pleinement fidèle.

Par construction, le foncteur pleinement fidèle

DM_{gm}^{eff}(S) → DM^{eff}(S)

se prolonge en un foncteur pleinement fidèle :

DM_{gm}(S) → DM(S).

Un objet de DM(S) qui est dans l’image de ce foncteur est dit constructible. Citons au passage le résultat suivant :

Proposition XIII.13. — Soit M un spectre motivique sur S. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) M est constructible.

(ii) M est un objet compact de DM(S).^{(4)}

Si de plus S est le spectre d’un corps de caractéristique 0, ces conditions sont équivalentes à la suivante :

(iii) M est fortement dualisable.

Si l’on travaille dans DM(S) ⊗ ℚ, les conditions (i) et (ii) sont équivalentes à (iii) en supposant simplement que S est le spectre d’un corps.

(3)i.e. la catégorie homotopique associée à une catégorie de modèles. La propriété d’universalité fait référence aux adjontions de catégories homotopiques qui sont les foncteurs dérivés d’une adjonction de Quillen.

(4)i.e. le foncteur Hom_{DM(S)}(M, .) commute aux sommes directes.

Références

[Hov99] M. Hovey – Model categories, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 63, American Mathematical Society, Providence, RI, 1999.

[Org04] F. Orgogozo – « Isomotifs de dimension inférieure ou égale à un », Manuscripta Math. 115 (2004), no. 3, p. 339–360.

2009-2010 Frédéric Déglise, CNRS, LAGA (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, 99 avenue Jean-Baptiste

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