Table des matières

Cours III. Cycle associé à un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Compléments sur le support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Groupe de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

COURS III CYCLE ASSOCIÉ À UN MODULE

1. Compléments sur le support

Considérons à nouveau les notations de la section 2.3. La proposition suivante est évidente :

Proposition III.1. — Soit A un anneau.

1. Pour toute suite exacte de A-modules

0 → N → M → M/N → 0,

on a Supp(M) = Supp(N) ∪ Supp(M/N).

2. Si M est somme de sous-A-modules (M_{i})_{i∈I}, Supp(M) = ∪_{i∈I} Supp(M_{i}).

3. Si M et N sont deux A-modules de type fini,

Supp(M ⊗_{A} N) = Supp(M) ∩ Supp(N)

Démonstration. — Les deux premiers points sont faciles. Pour le point (iii), notons que si 𝔭 ∈ Spec(A), (M ⊗_{A} N)_{𝔭} = M_{𝔭} ⊗_{A_{p}} N_{𝔭}. Le point (iii) est donc un corollaire du lemme suivant, application standard du lemme de Nakayama :

Lemme III.2. — Soit A un anneau local, M et N deux A-modules de type fini. Alors M⊗_{A}N = 0 si et seulement si M = 0 ou N = 0.

III.1.0.a. — Pour un A-module M et un élément v ∈ M, on note A.v le sous-A-module de M engendré par v. On note simplement Ann_{A}(v) l’idéal annulateur du A-module A.v et on l’appelle l’annulateur de v. On en déduit donc un isomorphisme canonique :

(III.1)  A/ Ann_{A}(v) → A.v.

Corollaire III.2.1. — Soit M un A-module de type fini d’annulateur 𝔞. Alors, Supp(M) = V (𝔞).

Démonstration. — En effet, M est somme d’une famille finie de A-modules de la forme (A.v_{i})_{i∈I} où v_{i} appartient à M. Si 𝔞_{i} désigne l’annulateur du A-module A.v_{i}, on obtient par définition un isomorphisme canonique A.v_{i} = A/𝔞_{i} donc le support de A.v_{i} est le fermé V (𝔞_{i}) de Spec(A). On en déduit de la proposition précédente et, du fait que I est fini, les égalités :

Supp(M) = ∪_{i}V (𝔞_{i}) = V (∩_{i}𝔞_{i}) = V (𝔞).

III.1.0.b. — Considérons l’ensemble d’idéaux de A suivant

Φ = {Ann_{A}(v) | v ∈ M, v ≠ 0}.

On ordonne Φ par inclusion.

Définition III.1. — Avec la notation qui précède, on pose

Ass_{A}(M) = Φ ∩ Spec(A).

Un élément 𝔭 de Ass_{A}(M) est appelé un idéal premier associé à M.

Compte tenu de (III.1), on vérifie que 𝔭 ∈ Ass(M) si et seulement si M contient un sous-A-module isomorphe à A/𝔭.

Exemple III.1. — Si M est un sous-A-module non nul de A/𝔭 pour un idéal premier 𝔭, alors Ass(M) = {p}.

On aura besoin des propriétés suivantes :

Proposition III.3. — Soit M un A-module.

1. Pour tout suite exacte de A-modules

0 → N → M → M/N → 0,

on a : Ass(N) ⊂ Ass(M) ⊂ Ass(N) ∪ Ass(M/N).

2. Si A est noethérien, pour tout idéal premier 𝔭 de A, Ass_{A_{𝔭}}(M_{𝔭}) = Ass_{A}(M) ∩ Spec(A_{p}).

Démonstration. — On considère le point 1. L’inclusion Ass(N) ⊂ Ass(M) est évidente. Soit 𝔭 un élément de Ass(M), E un sous-A-module de M tel que E ≃ A/𝔭. Si E ∩ N = 0, alors E est un sous-A-module de M/N : 𝔭 ∈ Ass(M/N). Sinon, compte tenu de l’exemple III.1, Ass(E∩N) = {p}, ce qui montre que 𝔭 ∈ Ass(N) – puisque Ass(E ∩ N) ⊂ Ass(N).

Pour le point 2, on rappelle l’identification :

Spec(A_{𝔭}) = {𝔮 ∈ Spec(A) | 𝔮 ⊂ 𝔭}.

Soit 𝔮 un idéal premier tel que 𝔮 ⊂ 𝔭. Si il existe un sous-A-module E de M tel que E ≃ A/𝔮, alors E_{𝔭} = A_{𝔭}/𝔮; on en déduit l’inclusion Ass_{A}(M) ∩ Spec(A_{p}) ⊂ Ass_{A_{𝔭}}(M_{𝔭}).

Réciproquement, soit 𝔮 un idéal de A_{𝔭} associé à M_{𝔭}. Il existe donc v ∈ M et s ∈ (A − 𝔭) tel que 𝔮 = Ann_{A_{p}}(\frac{x}{s}). Puisque A est noethérien, 𝔮 = (f_{1}, …, f_{n}) pour des éléments f_{i} ∈ A. Par hypothèse, f_{i}.\frac{x}{s} = 0, donc il existe g_{i} ∈ (A − 𝔮) tel que (f_{i}g_{i}).x = 0. On considère l’élément y = (g_{1} … g_{n}).x de M. Par construction, 𝔮.y = 0. De plus, si h.y = 0, on en déduit que

h ∈ Ann_{A_{p}}(x) = Ann_{A_{p}} (\frac{x}{s}) = 𝔮.

Autrement dit, 𝔮 = Ann_{A}(y), ce qui conclut.

Proposition III.4. — Si A est un anneau noethérien, pour tout A-module M, Ass_{A}(M) ≠ ∅.

Cela résulte du lemme suivant :

Lemme III.5. — Considérant la notation de III.1.0.b, tout élément maximal de Φ est un idéal premier.

Démonstration. — Soit 𝔞 = Ann_{A}(A.v) un tel élément maximal. Si fg ∈ 𝔞 et f ∉ 𝔞, f.v ≠ 0 et par maximalité de 𝔞, Ann_{A}(f.v) = 𝔞. Or, g.(f.v) = 0 par hypothèse ; donc g ∈ Ann_{A}(f.v) = 𝔞.

Corollaire III.5.1. — Soit A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Il existe une chaîne de sous A-modules

(III.2)  0 = M_{0} ⊊ M_{1} ⊊ … ⊊ M_{n} = M

telle que pour tout entier i, M_{i}/M_{i−1} est isomorphe à A/𝔭_{i} pour un idéal premier p_{i}.

Démonstration. — Notons que, puisque A est noethérien et M de type fini sur A, il n’existe pas de chaînes de sous-A-modules infinies de M.

Comme A est noethérien, on peut considérer un idéal premier 𝔭 associé à M d’après la proposition précédente. Alors, M contient un sous-module de la forme N = A/𝔭. On peut itérer ce procédé en considérant le module quotient M/N, ce qui conclut.

Corollaire III.5.2. — Considérant une chaîne (III.2) comme dans la proposition précédente, alors :

1. Ass(M) ⊂ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{n}} ⊂ Supp(M).

2. Supp(M)^{(0)} ⊂ Ass(M).

Démonstration. — On considère l’assertion 1 : d’après la proposition III.1,

{𝔭_{i}} = Supp(M_{i}/M_{i−1}) ⊂ Supp(M_{i}) ⊂ Supp(M).

Par ailleurs, on déduit de la première propriété de la proposition III.3 l’inclusion :

Ass(M) ⊂ ∪_{i} Ass(M_{i}/M_{i−1})

ce qui conclut la preuve de 1 puisque Ass(M_{i}/M_{i−1}) = {𝔭_{i}}.

Considérons l’assertion 2. Si 𝔭 est un élément minimal de Supp(M), alors Supp(M_{𝔭}) = {𝔭}. Or, Ass(M_{𝔭}) est non vide d’après la proposition précédente. Donc Ass(M_{𝔭}) = {𝔭} d’après le point 1. Il résulte donc du point 2 de la proposition III.3 que 𝔭 ∈ Ass(M).

Corollaire III.5.3. — Un A-module M sur un anneau noethérien A est de longueur finie si et seulement si il est de type fini et Supp(M) est fini.

En effet, cela résulte de l’existence de la suite (III.2) du corollaire III.5.1 compte tenu de la caractérisation des modules de longueur finie II.9.

2. Définition

III.2.0.c. — Soit A un anneau noethérien, X = Spec(A). Soit M un A-module de type fini. On pose V (M) = Supp(M) = V (Ann_{A}(M)) vu comme un fermé de X.

Les idéaux premier associés à M correspondent bijectivement à des fermés irréductibles de Z(M) par l’application

Ass(M) → fermé(V (M)), 𝔭 ↦ V (𝔭).

On dit encore que qu’un fermé de la forme V (𝔭) pour 𝔭 ∈ Ass_{A}(M) est associé à M.

On a vu que les composantes irréductibles de V (M) sont associées à M.^{(1)} Notons que si 𝔭 est un point générique de V (M), alors Supp(M_{𝔭}) = {𝔭} : donc M_{𝔭} est de longueur finie d’après III.5.3.

(1)On fera attention qu’il peut exister des fermés de V (M) qui sont associés à M sans être des composantes irréductibles. On les appelle des composantes immergées de M.

Définition III.2. — Avec les notations précédentes, on définit le cycle fondamental associé à M comme le cycle de X suivant :

z_{A}(M) = ∑_{𝔭∈V (M)^{(0)}} lg(M_{𝔭}).𝔭.

On le note encore z(M) s’il n’en résulte pas de confusion.

Avec cette définition, il est évident que si Z = V (𝔞) est un fermé de X, z(A/𝔞) = ⟨Z⟩_{X}.

Exemple III.2. — Supposons que M soit un A-module plat de type fini (non nul).

Alors, Supp(M) est un ouvert de A : pour tout 𝔭 ∈ Supp(M), M ⊗_{A} A_{𝔭} est non nul, plat sur A_{𝔭}; il est donc libre de la forme A_{𝔭}^{n} pour n > 0. Notons au passage que n = dim_{κ(p)}(M ⊗_{A} κ(p)). Il existe donc un élément f ∈ A − 𝔭 tel que M ⊗_{A} A_{f} = A_{f}^{n}. On obtient alors D(f) ⊂ Supp(M).

On en déduit que Supp(M) est une composante connexe Ω de X et de plus :

z(M) = ∑_{𝔭∈Ω^{(0)}}[dim_{κ(𝔭)} (M ⊗_{A} κ(𝔭)) . lg(A_{𝔭})].𝔭.

Proposition III.6. — Soit ρ : A → B un morphisme plat, f : Y → X le morphisme de schémas associé, et M un A-module de type fini.

Alors, f^{∗}(z_{A}(M)) = z_{B}(M ⊗_{A} B).

Remarque III.1. — Cette proposition généralise la proposition II.15 du cours précédent.

Démonstration. — On commence par démontrer le lemme suivant :

Lemme III.7. — Avec les hypothèses de la proposition, V (M ⊗_{A} B) = f^{−1}(V (M)).

Considérons un élément 𝔮 ∈ Spec(B), 𝔭 = f(𝔮), et A_{𝔭} → B_{𝔮} la fibre de f en 𝔮. Rappelons que c’est un morphisme fidèlement plat (cf. II.11). Alors :

(M ⊗_{A} B)_{𝔮} = M ⊗_{A} B ⊗_{B} B_{𝔮} = (M ⊗_{A} A_{𝔭}) ⊗_{A_{𝔭}} B_{𝔮} = M_{𝔭} ⊗_{A_{𝔭}} B_{𝔮}.

On en déduit donc : (M ⊗_{A} B)_{𝔮} = 0 ⇔ M_{𝔭} = 0, ce qui prouve l’égalité attendue.

Dès lors, quitte à remplacer A par A/ Ann_{A}(M), on peut supposer que X = Supp(M) et Y = Supp(M⊗_{A}B). Soit 𝔮 un point générique de Y. Rappelons que, puisque f est plat, 𝔭 = f(𝔮) est un point générique de X. En particulier, les deux cycles de l’équation à démontrer sont supportés aux points génériques de Y. Calculant maintenant la multiplicité de ces deux cycles au point 𝔮, on se ramène à prouver l’égalité des entiers suivants :

lg ((M ⊗_{A} B)_{𝔮}) = lg(M_{𝔭}). lg ((A/𝔭 ⊗_{A} B)_{𝔮}).

C’est la proposition II.12 appliquée au morphisme plat local d’anneaux locaux artiniens A_{𝔭} → B_{𝔮} et au A_{𝔭}-module M_{𝔭}.

III.2.0.d. — Soit ρ : A → B un morphisme d’anneaux.

On définit le foncteur d’extension (de la base) associé à ρ comme suit :

A−mod → B−mod, M ↦ M ⊗_{A} B.

Si N est un B-module, on note N|_{A} le groupe abélien N vu comme un A-module à travers ρ. On définit le foncteur de restriction (de la base) associé à ρ comme suit :

A−mod → B−mod, N ↦ N|_{A}.

On vérifie encore facilement la relation suivante :

Hom_{A}(M, N|_{A}) = Hom_{B}(M ⊗_{A} B, N).

Autrement dit, le foncteur d’extension est adjoint à gauche du foncteur de restriction. Par ailleurs, on vérifie aussi facilement les propriétés suivantes :

1. Pour tout A module M et tout B-module N,

(III.3)  M ⊗_{A} (N|_{A}) = ((M ⊗_{A} B) ⊗_{B} N)|_{A}.

2. Soit A → C un morphisme d’anneaux, et posons D = C ⊗_{A} B de sorte qu’on obtient des

morphismes d’anneaux :

\xymatrix{D & C \ar[l] \\ B \ar[u] & A \ar[u] \ar[l]}

Alors, pour tout B-module N,

(III.4)  (N|_{A}) ⊗_{A} C = (N ⊗_{B} D)|_{C}.

Ces formules sont de simples applications de la transitivité du produit tensoriel.

Proposition III.8. — Soit ρ : A → B un morphisme fini, et f : Y → X le morphisme de schémas associé.

Alors, pour tout B-module de type fini M,

f_{∗}(z(M)) = z(M|_{A}).

Démonstration. — Considérons d’abord le cas où ρ est surjective, ce qui revient à dire que B = A/𝔞, Y est un sous-schéma fermé de X. Alors, V (M) = V (M|_{A}). De plus, pour tout 𝔭 ∈ V (M)^{(0)}, lg_{A_{𝔭}}(M_{𝔭}) = lg_{A_{𝔭}/𝔞}(M_{𝔭}) ce qui conclut dans ce cas.

Soit 𝔞 = Ker(ρ). Le morphisme ρ se factorise comme suit :

A → A/𝔞 ⟶^{ρ′} B.

D’après le cas traité précédemment, on est donc ramené au cas de ρ′ (par fonctorialité des opérations ?|_{A} et f_{∗}). Autrement dit, on peut supposer que ρ est injective. On utilise le lemme suivant :

Lemme III.9. — Dans les conditions de la proposition, si ρ est injective,

ρ^{−1}(Ass(M)) = Ass(M|_{A}).

Notons que pour tout élément v de M, on a tautologiquement la relation :

ρ^{−1}(Ann_{B}(v)) = Ann_{A}(v).

Si 𝔮 est un idéal premier de B associé à M, alors 𝔮 = Ann_{B}(v) pour un élément v ∈ M, et la relation précédente montre que ρ^{−1}(𝔮) est l’annulateur de v dans A; d’où l’inclusion ρ^{−1}(Ann_{B}(v)) ⊂ Ann_{A}(v).

Réciproquement, considérons idéal 𝔭 associé à M|_{A}; soit v ∈ M tel que 𝔭 = Ann_{A}(v). On pose 𝔟 = Ann_{B}(v), qui vérifie donc ρ^{−1}(𝔟) = 𝔭. D’après le théorème de Cohen-Seidenberg (cf. [Bou83, v, §2, n^{o} 1, th. 1]), il existe un idéal premier 𝔮 de B tel que 𝔮 ⊃ 𝔟 et ρ^{−1}(𝔮) = 𝔭. Quitte à réduire 𝔮, on peut supposer que 𝔮 est minimal parmis les idéaux premiers contenant 𝔟. On en déduit 𝔮 ∈ Ass(B/𝔟) ⊂ Ass(B), ce qui conclut.

On déduit de ce lemme que f(Z(M)) = Z(M|_{A}). Quitte à remplacer Y par Z(M) et X par Z(M|_{A}), on peut maintenant supposer que le support de M est Y et celui de M|_{A} est X. Soit 𝔭 un point générique de X. Calculant les multiplicités en 𝔭 des deux cycles de l’équation à prouver, on se ramène à montrer l’égalité des entiers :

lg(M_{𝔭}) = ∑_{𝔮∈Y^{(0)}}[κ(𝔮) : κ(𝔭)]. lg(M_{𝔮}).

Cela résulte maintenant de la proposition II.10 appliquée au morphisme A_{p} → B ⊗_{A} A_{p} et au (B ⊗_{A} A_{p})-module M ⊗_{A} A_{p}.

Remarque III.2. — Grâce aux deux propositions précédentes, la formule de projection II.18 du cours précédent se ramène aisément à la formule (triviale) (III.4).

3. Groupe de Grothendieck

III.3.0.e. — Soit A un anneau. La catégorie A−mod^{tf} des A-modules de type fini est essentiellement petite. On considère l’ensemble [ mod A] des classes d’isomorphismes de mod A, et ℤ.[ mod A] le groupe abélien libre engendré.

Soit R le sous-groupe de ℤ.[A−mod^{tf}] engendré par les éléments

[N] − [M] + [M/N]

pour toute suite exacte

0 → N → M → M/N → 0

de A-modules.

Définition III.3. — Avec les notations qui précèdent, on définit le groupe de K-théorie de l’anneau A comme suit :

K′_{0}(A) = ℤ.[A−mod^{tf}]/R.

On note encore [M] la classe d’un A-module de type fini M dans K′_{0}(A). Notons que [M]+[N] = [M ⊕ N].

III.3.0.f. — Pour les questions de fonctorialités, il sera plus commode de poser X = Spec(A) et de noter K′_{0}(A) = K′_{0}(X). Soit ρ : A → B un morphisme d’anneaux, et f : Y → X le morphisme de schémas associé. Si f est fini, le foncteur de restriction induit un morphisme

f_{∗} : K′_{0}(Y) → K′_{0}(X).

Si f est plat, le foncteur d’extension induit un morphisme

f^{∗} : K′_{0}(X) → K′_{0}(Y).

III.3.0.g. — Soit p ≥ 0 un entier. On note F^{p}K′_{0}(X) le sous-groupe de K′_{0}(X) engendré par les classes [M] de A-modules de type fini M tel que codim_{X}(V (M)) ≥ n.

Pour un tel A-module M, on note z^{n}(M) la projection du cycle z(M) dans le facteur direct Z^{n}(X) des cycles de X. Vu que tout point 𝔭 ∈ X^{(n)} qui appartient à V (M) est nécessairement un point générique, on en déduit donc :

z^{n}(M) = ∑_{𝔭∈X^{(n)}} lg(M_{𝔭}).𝔭.

Puisque les fonctions longueurs sont additives sur les suites exactes de A-modules (cf. II.14, point 5), la fonction z^{n} se factorise et induit un morphisme

z^{n} : F^{n}K′_{0}(X) → Z^{n}(X).

Si α = ∑_{i∈I} n_{i}.𝔭_{i} est un cycle n-codimensionnel, l’élément

σ(α) = ∑_{i∈I} n_{i}.[A/𝔭_{i}]

appartient à F^{p}K′_{0}(X) est vérifie z^{n}(σ(α)) = α. On obtient finalement une suite exacte :

F^{n+1}K′_{0}(X) → F^{n}K′_{0}(X) ⟶^{z_{X}^{n}} Z^{n}(X) → 0.

Notons que, d’après la proposition II.17 et le lemme III.7, le foncteur f^{∗} : K′_{0}(X) → K′_{0}(Y) associé à un morphisme plat f : Y → X de schémas affines envoie F^{n}K′_{0}(Y) sur F^{n}K′_{0}(X). La proposition III.6 montre que z_{X}^{n} est fonctoriel par rapport à f^{∗}.

Références

[Bou83] N. Bourbaki – Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 1 à 4 - Chapitres 5 à 7 - Chapitres 8 et 9, Masson, 1985 - 1985 - 1983.

2009-2010

Frédéric Déglise, CNRS, LAGA (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, 99 avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse FRANCE, Tel. : +33 1 49 40 35 77 • E-mail : deglise@math.univ-paris13.fr

    Url : http://www.math.univ-paris13.fr/~deglise/