Table des matières

Cours IX. Faisceaux avec transferts et complexes motiviques . . . . . . . . 1

1. Compléments sur la topologie de Nisnevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Voisinages Nisnevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Points Nisnevich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Faisceaux avec transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Faisceau avec transferts associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Fonctorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4. Complexes motiviques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

COURS IX FAISCEAUX AVEC TRANSFERTS ET COMPLEXES MOTIVIQUES

1. Compléments sur la topologie de Nisnevich

1.1. Voisinages Nisnevich. —

Définition IX.1. — Soit X un schéma et x un point de X.

Un voisinage Nisnevich de x dans X est un couple (V, y) où p : V → X est un X-schéma étale séparé de type fini, y est un point de V tel que p(y) = x et l’extension résiduelle κ(y)/κ(x) de p en y est triviale.

Si (V, y) et (V′, y′) sont deux voisinages Nisnevich de x dans X, un morphisme (V′, y′) → (V, y) est un X-morphisme f : V′ → V tel que f(y′) = y.

On note V^{h}(X, x) la catégorie des voisinages Nisnevich de x dans X.

On remarque qu’un morphisme étale séparé de type fini f : W → X est un recouvrement Nisnevich si et seulement si c’est un voisinage Nisnevich de chacun des points de X.

Définition IX.2. — Une catégorie 𝒞 est dite filtrante si les conditions suivantes sont satisfaites : (C1) I admet au moins un objet. (C2) Pour tout couple (i, j) d’objets de I, il existe des flèches de I de la forme i → k et j → k.

1. Pour tout couple de flèches u, v : i → j dans[(C3)] I, il existe une flèche w : j → k dans I

telle que w ∘ u = w ∘ v. On dit que I est cofiltrante si la catégorie opposée I^{op} est filtrante.

Si l’on considère un ensemble pré-ordonné^{(1)} (E, R) comme une catégorie, avec pour objets les éléments de E et pour morphismes l’ensemble

Hom(x, y) = \begin{cases}\{∗\} & si (x, y) ∈ R, \\ ∅ & sinon, \end{cases}

E est filtrante (resp. cofiltrante) si E est non vide et toute ensemble fini d’éléments de E admet un majorant (resp. minorant).

Rappelons la proposition suivante qui montre l’intérêt d’introduire la définition précédente :

(1)Rappelons qu’il s’agit d’un ensemble E munit d’une relation binaire R ⊂ E × E qui est réflexive (pour tout x ∈ E, (x, x) ∈ R) et transitive (si (x, y) ∈ R et (y, z) ∈ R alors (x, z) ∈ R).

Proposition IX.1. — Soit I la catégorie des ensembles ou des groupes abéliens.^{(2)} Alors, les limites inductives indexées par I commutent aux limites projectives finies dans I.

Voir [AGV73, I, cor. 2.9].

Proposition IX.2. — Soit X un schéma, x un point de X et (V, y) (resp. (V′, y′)) un voisinage Nisnevich de x dans X.

Alors, si V′ est connexe, pour tous morphismes f_{1}, f_{2} : (V′, y′) → (V, y) dans V^{h}(X, x), f_{1} = f_{2}.

Démonstration. — On montre d’abord qu’on peut supposer V′ = X et y′ = x.

Pour i = 1, 2, on considère pour cela le diagramme commutatif de schémas

[figure: V′; f_{i}; 1_{V ′}; f′_{i}; V ×_{X} V′; π; V; p; V′; p′; X,]

dans lequel le carré est cartésien et le morphisme f′_{i} est l’unique morphisme induit par f_{i}. Il en résulte que f′_{i} est une section de π.

Soit k, K et K′ les corps résiduels respectifs de x, y et y′. Le diagramme précédent correspond à un diagramme commutatif d’anneaux :

\xymatrix{K′ \\  & K ⊗_{k} K′ \ar[ul] & K \ar[l] \ar[ull]_{f_{i,y′}} \\  & K′ \ar[u] \ar[uul]^{1_{K′}} & k \ar[l]_{p′_{y′}} \ar[u]_{p_{y}}}

Par hypothèse, p_{y} et p′_{y′} sont des isomorphismes ; il en résulte que K ⊗_{k} K′ est un corps et que tous les morphismes dans le diagramme précédent sont des isomorphismes. Dès lors, le morphisme canonique Spec(K ⊗_{k} K′) → V ×_{X} V′ définit un point z de V ×_{X} V′ qui fait de ce dernier schéma un voisinage Nisnevich de y′ dans V′. Le morphisme f′_{i} est alors un morphisme dans V^{h}(V′, y′) Il suffit de traiter le cas de f′_{1}, f′_{2}, ce qui termine la preuve de la réduction.

Dès lors, f_{i} : X → V est une section du morphisme étale séparé de type fini p : V → X. D’après le corollaire V.3.1, c’est donc une immersion ouverte et fermée. Autrement dit, f_{i} se factorise sous la forme :

X ⟶^{ϵ_{i}} Ω_{i} ⟶^{ν}_{i} V

où Ω_{i} est une composante connexe de V, ν_{i} est l’inclusion canonique et ϵ_{i} est un isomorphisme.

Comme f_{1}(x) = y = f_{2}(x), on déduit Ω_{1} = Ω_{2}. Comme p ∘ f_{1} = 1_{X} = p ∘ f_{2}, on obtient ϵ_{1} = ϵ_{2} ce qui conclut.

Corollaire IX.2.1. — Pour tout schéma pointé (X, x), la catégorie V^{h}(X, x) est cofiltrante.

Démonstration. — La propriété (C1) est triviale. Pour la propriété (C2), étant donné deux objets (V, y) et (V′, y′) de V^{h}(X, x), le morphisme canonique Spec(κ(y) ⊗_{k} κ(y′)) → V ×_{X} V′ définit un point de V ×_{X} V′ qui en fait un voisinage Nisnevich de x dans X. Pour la propriété (C3), puisqu’il s’agit d’égaliser deux morphismes (V′, y′) ⇉ (V, y) dans V^{h}(X, x), on se ramène à la proposition précédente en remplaçant V ’ par la composante connexe de V′ contenant y′.

(2)On peut aussi considérer la catégorie des anneaux, des R-modules pour un anneau R fixé, ...

Définition IX.3. — Un foncteur φ : I → I′ entre catégorie filtrantes est dit cofinal si les conditions suivantes sont satisfaites :

(F1) Pour tout objet i′ de I′, il existe un objet i de I et une flèche i′ → φ(i) dans J.

(F2) Pour tout objet i de I et tout couple de flèches u, v : i′ → φ(i), il existe une flèche h : i → j dans I telle que φ(u) ∘ u = φ(h) ∘ v.

On dit que φ est final si le foncteur induit I^{op} → I^{′op} est cofinal.

On rappelle la proposition suivante (voir la proposition 8.1.3 et la définition 8.1.1 de [AGV73, I]) :

Proposition IX.3. — Soit 𝒞 la catégorie des ensembles ou des groupes abéliens.^{(3)}

Considérons un foncteur cofinal φ : I → I′ entre catégorie filtrantes. Alors, pour tout foncteur F : I′ → 𝒞, le morphisme canonique

(\underrightarrow{lim} F ∘ φ) → (\underrightarrow{lim} F )

est un isomorphisme.

Remarque IX.1. — Pour une justification des remarques qui suivent, on renvoie le lecteur à [AGV73, I, 8.1.3] :

1. Si I′ est quelconque, l’existence d’une catégorie filtrante I et d’un foncteur φ : I → I′ satisfaisant les condition (F1) et (F2) de la définition précédente implique que I′ est filtrante.

2. Considérons un foncteur φ : I → I′ tel que I′ est filtrante et φ est pleinement fidèle. Alors, la condition (F1) entraine la condition (F2) et le fait que I est filtrante.

Exemple IX.1. — Soit (X, x) un schéma pointé.

1. Notons V_{0}^{h}(X, x) la sous-catégorie pleine de V^{h}(X, x) formée des voisinages Nisnevich qui sont affines et connexes en tant que schémas. Alors, le foncteur d’inclusion canonique V_{0}^{h}(X, x) → V^{h}(X, x) est final. Cela résulte en effet du deuxième point de la remarque précédente.

2. Considérons un schéma pointé (X, x). Notons [V_{0}^{h}(X, x)] l’ensemble des classes d’isomorphies de V_{0}^{h}(X, x). Si V et V′ sont deux objets de V_{0}^{h}(X, x), on dit que [V] ≤ [V′] si il existe un morphisme V → V′ dans V^{h}(X, x). Il résulte de la proposition IX.2 que cela définit une relation d’ordre sur l’ensemble [V_{0}^{h}(X, x)]. Cette même proposition montre que l’association

V ↦ [V]

définit un foncteur final V_{0}^{h}(X, x) → [V_{0}^{h}(X, x)].

IX.1.1.a. — On dira qu’une catégorie filtrante I est essentiellement petite si il existe une petite catégorie filtrante I_{0} et un foncteur cofinal φ : I_{0} → I.^{(4)}

Considérons une catégorie 𝒞. Un pro-objet de 𝒞 est la donnée d’une catégorie cofiltrante essentiellement petite I et d’un foncteur X_{•} : I → 𝒞. On utilise la notation indicielle (X_{i})_{i∈I} pour ces foncteurs.

Les morphismes entre deux pro-objets (X_{i})_{i∈I} et (Y_{j})_{j∈J} sont définis par la formule :

Hom(Y_{•}, X_{•}) = \underleftarrow{lim}_{i∈I} \underrightarrow{lim}_{j∈J^{op}} Hom_{𝒞} (Y_{j}, X_{i}).

La loi de composition est induite par la loi de composition de 𝒞.

(3)On peut aussi considérer la catégorie des anneaux, des R-modules pour un anneau R fixé, ...

(4)D’après [AGV73, I, 8.1.6], on pourrait tout aussi bien supposer que I_{0} est un ensemble ordonné filtrant.

IX.1.1.b. — On utilisera cette définition dans le cas des schémas.

Rappelons que la catégorie des anneaux admet des limites inductives. Il en résulte que la catégorie des schémas affines admet des limites projectives (voir proposition II.5). ^{(5)}

Il n’est pas nécessaire de supposer que I soit cofiltrant pour obtenir l’existence de ces limites projectives. Toutefois, nous ne considèrerons les limites projectives de schémas que dans le cas des pro-schémas suivants :

Définition IX.4. — Nous dirons qu’un pro-schéma (X_{i})_{i∈I} est essentiellement affine s’il est isomorphe dans la catégorie des pro-schémas à un pro-schéma affine.

L’exemple typique de pro-schéma essentiellement affine est obtenu dans le cas où il existe une catégorie cofiltrante I_{0} et un foncteur cofinal φ : I_{0} → I tel que pour tout i ∈ I_{0}, X_{φ(i)} est un schéma affine.

On retiendra que tout pro-schéma essentiellement affine admet une limite projective dans la catégorie des schémas.

Exemple IX.2. — Soit X un schéma et x un point de X. Soit V^{o}(X, x) l’ensemble des ouverts de X contenant le point x, ordonné par inclusion. C’est un ensemble cofiltrant, qui définit donc un pro-schéma noté X_{(x)}. La sous-catégorie formée des voisinages ouverts affines est cofinale dans V^{o}(X, x) ; le pro-schéma X_{(x)} est donc essentiellement affine. On peut de plus calculer sa limite projective :

( \underleftarrow{lim}_{U∈V^{o}(X,x)} U) = Spec(O_{X,x});

autrement dit, X_{(x)} a pour limite projective le schéma localisé de X en x suivant la terminologie de V.5.0.s.

Proposition IX.4. — Soit S un schéma noethérien, et (X_{i})_{i∈I} et (Y_{j})_{j∈J} des pro-S-schémas essentiellement affine de limites respectives X_{∞} et Y_{∞} dans la catégorie des S-schémas.

On suppose que pour tout j ∈ J, X_{j} est de type fini sur S. Alors, le morphisme canonique

\underleftarrow{lim}_{i∈I} \underrightarrow{lim}_{j∈J^{op}} Hom_{S}(Y_{j}, X_{i}) → Hom_{S}(Y_{∞}, X_{∞})

est un isomorphisme.

Exemple IX.3. — Soit X (resp. Y) un S-schéma noethérien de type fini, x (resp. y) un point de X (resp. Y). Alors, tout morphisme Y_{(y)} → X_{(x)} entre les schémas localisés respectifs se relève en un morphisme V → U pour des voisinages ouverts (que l’on peut supposer affines) U et V de x et y respectivement.

La proposition précédente permet d’obtenir le lemme suivant qui caractérise les voisinages Nisnevich :

Proposition IX.5. — Soit X un schéma noethérien et p : V → X un morphisme de type fini. Soit y un point de V, x = p(y). Notons T (resp. Z) l’adhérence réduite de y dans V (resp. x dans X). Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’extension résiduelle κ(y)/κ(x) de p en y est triviale.

(ii) Il existe un ouvert dense W (resp. U) de T (resp. Z) tel que p(W) ⊂ U et une section s : U → W du morphisme p|_{W}^{U}.

(5)Plus généralement, étant donné un système projectif X_{•} = (X_{i})_{i∈I} de schémas, pour que X_{•} admette une limite projective dans la catégorie des schémas, il suffit que pour toute flèche i → j de I, le morphisme X_{i} → X_{j} soit affine (voir [ÉGA iv, 8.2.3]).

Démonstration. — Le fait que (ii) implique (i) étant trivial, on démontre la réciproque. Cette assertion ne dépend que des schémas réduits associés à X et V, on peut donc les supposer réduits. Quitte à remplacer X par Z (resp. V par T), on peut supposer que X (resp. V) est intègre de point générique x (resp. y). Dès lors, X_{(x)} = Spec(κ(x)) et V_{(y)} = Spec(κ(y)). Notons p_{y}^{x} : V_{(y)} → X_{(x)} le morphisme induit par p. D’après (i), on obtient donc un morphisme σ : X_{(x)} → V_{(y)} tel que p_{y}^{x} ∘ σ = 1. La proposition précédente montre que ce morphisme se relève au voisinage de x et y en s : W → U. De plus, d’après cette même proposition, quitte à réduire U et W, on peut supposer que p(W) ⊂ U et que (p|_{W}^{U}) ∘ s = 1.

IX.1.1.c. — Une stratification finie d’un schéma X et une famille finie (X_{i})_{i∈I} de sous-schémas de X telle que X = ⊔_{i∈I}X_{i}.

Corollaire IX.5.1. — Soit X un schéma noethérien et p : W → X un morphisme étale séparé de type fini. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. p est un recouvrement Nisnevich de X.

2. Il existe une stratification finie (X_{i})_{i∈I} de X et pour tout i ∈ I, une immersion s_{i} : X_{i} → W telle que p ∘ s_{i} est l’inclusion canonique.

Autrement dit, l’application s = ⊔_{i∈I}X_{i} → X est une section de p telle que pour tout i ∈ I, la restriction de s à X_{i} est un morphisme de schémas. Suivant Beilinson et Vologodsky, une telle application s est appelée une section constructible de p.

Corollaire IX.5.2. — Soit S un schéma noethérien.

Alors, la tolpologie de Nisnevich sur ℒ_{S} est engendrée par la pré-topologie dont les recouvrements d’un S-schéma X de ℒ_{S} sont formés par les familles

(p : V → X, j : U → X)

pour un carré Nisnevich distingué (définition VII.9)

\begin{matrix}W & k & [figure] & g & [figure] & Δ & V & f & [figure] & U & j & [figure] & X. \\ (IX.1) \end{matrix}

Ainsi, les faisceaux Nisnevich sur ℒ_{S} se caractérisent à l’aide des recouvrements Nisnevich induits par les carrés distingués. Un petit calcul supplémentaire permet d’en déduire le résultat suivant :

Corollaire IX.5.3. — Soit S un schéma noethérien et F : ℒ_{S}^{op} → 𝒜b un pré-faisceau abélien. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) F est un faisceau Nisnevich. (ii) Pour tout carré distingué de la forme (IX.1), la suite suivante est exacte courte :

0 → F (X) \underrightarrow{(\begin{matrix}j^{∗} \\ f^{∗} \end{matrix})} F (U) ⊕ F (V) ⟶^{(g^{∗},−k^{∗})} F (W) → 0

Rappelons que si X est un S-schéma dans ℒ_{S}, on a noté ℤ_{S}(X) le faisceau de groupes abéliens libres représenté par X (voir example VIII.9).

Corollaire IX.5.4. — Pour tout carré distingué de la forme (IX.1), la suite suivante est exacte courte dans 𝒩_{S}

0 → ℤ_{S}(W) \underrightarrow{(\begin{matrix}g_{∗} \\ −k_{∗} \end{matrix})} ℤ_{S}(U) ⊕ ℤ_{S}(V) ⟶^{(j_{∗},f_{∗})} ℤ_{S}(X) → 0

1.2. Points Nisnevich. —

Définition IX.5. — Soit X un schéma dans ℒ_{S} et x un point de X. Pour tout préfaisceau F sur ℒ_{S}, on définit la fibre Nisnevich de F associée au schéma pointé (X, x) comme le groupe abélien :

(IX.2)  F (X_{(x)}^{h}) = \underrightarrow{lim}_{V ∈V^{h}(X,x)^{op}} F (V).

Cette notation est justifiée si l’on considère X_{(x)}^{h} comme le pro-objet (V)_{V ∈V^{h}(X,x)} de ℒ_{S}. En effet, la formule précédente fait référence à l’extension évidente de F aux pro-objets de ℒ_{S}.

Proposition IX.6. — Avec les notations de la définition précédente, on a les assertions suivantes :

1. Pour tout schéma pointé (X, x) de ℒ_{S}, le foncteur

Φ_{(X,x)} : 𝒩_{S} → 𝒜b, F ↦ F (X_{(x)}^{h})

est exact et commute aux sommes directes infinies.

2. La famille des foncteurs Φ_{(X,x)} pour un schéma pointé (X, x) de ℒ_{S} est conservative.^{(6)}

Démonstration. — Considérons le premier point. Rappelons que les limites projectives finies et les sommes directes de faisceaux se calculent dans la catégorie des préfaisceaux. D’après la formule (IX.2), le foncteur Φ_{(X,x)} commute donc au sommes. Par ailleurs, puisque V^{h}(X, x)^{op} est filtrante (corollaire IX.2.1), la proposition IX.1 montre que Φ_{(X,x)} commute aux limites projectives finies.

Il reste à montrer que ce foncteur est exact à droite. Considérons un épimorphisme de faisceaux η : F → G, et montrons que le morphisme canonique F (X_{(x)}^{h}) → G(X_{(x)}^{h}) est surjectif. Un élément du but est donné par une section ρ ∈ G(V) au-dessus d’un voisinage Nisnevich V de x dans X. D’après le corollaire VIII.7.2, il existe un recouvrement Nisnevich (p_{i} : W_{i} → V)_{i∈I} de V tel que pour tout indice i ∈ I, ρ|_{W_{i}} appartient à l’image de F (W_{i}) → G(W_{i}). Comme (p_{i})_{i} est un recouvrement Nisnevich, il existe un indice i ∈ I tel que W_{i} est un voisinage Nisnevich de x dans X. Cela concult.

Considérons maintenant le deuxième point. Soit F un faisceau sur ℒ_{S} tel que pour tout (X, x), F (X_{(x)}^{h}) = 0. On montre que pour tout S-schéma X de ℒ_{S}, F (X) = 0. La condition précédente implique que pour tout point x de X, il existe un voisinage Nisnevich V_{x} de x dans X tel que F (V_{x}) = 0. Or, la famille (V_{x} → X)_{x∈X} est un recouvrement Nisnevich de X. Comme F est séparé pour la topologie Nisnevich, on en déduit que F (X) = 0, ce qui conclut.

Remarque IX.2. — Cette proposition s’étend naturellement au cas des faisceaux d’ensembles. Compte tenu du point 1, on dit que Φ_{(X,x)} est un foncteur fibre du topos associé au site Nisnevich ℒ_{S}. De plus, le pro-objet X_{(x)}^{h} pour un schéma pointé (X, x) de ℒ_{S} est appelé un point de ce topos. Voir [AGV73, IV, §6] pour les définitions générales de foncteurs fibres et points.

Rappelons la définition suivante (voir par exemple [Ray70]) :

Définition IX.6. — On dit qu’un anneau local A est hensélien si tout A-algèbre finie B se décompose en un produit fini B = ∏_{i∈I} B_{i} tel que B_{i} est une A-algèbre locale finie.

Rappelons qu’on peut aussi caractériser les anneaux locaux hensélien par la propriété que tout polynôme unitaire P ∈ A[t] qui admet une racine simple modulo l’idéal maximal de A admet une racine dans A. Notons aussi pour des références ultérieures la proposition suivante :

Proposition IX.7. — Soit A un anneau local d’idéal maximal 𝔪. Posons X = Spec(A). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(6)Ce fonteur ne dépend que de la classe d’isomorphie de (X, x) et ces classes d’isomorphies forment un ensemble ce qui justifie l’abus de langage « famille de foncteurs ».

(i) A est hensélien.

1. ((ii)] Pour tout morphisme étale p : V → X, les conditions suivantes sont équivalentes :

(a) ((a)] f admet une section.

(b) f est un voisinage Nisnevich de 𝔪 dans X.

Pour une preuve de cette proposition, ainsi que de l’assertion qui la précède, on réfère le lecteur à [Ray70, VII,§3, prop. 3].

Exemple IX.4. — Tout anneau local complet est hensélien ; c’est le lemme de Hensel (voir [Ray70, I, §2, exemple 3]).

Pour le théorème suivant, on renvoie à [Ray70, VIII, th. 1]

Théorème IX.8. — Soit 𝒜 nn^{loc} la catégorie des anneaux locaux munie des morphismes locaux.

Le foncteur d’inclusion des anneaux locaux henséliens dans la catégorie 𝒜 nn^{loc} admet un adjoint à droite.

Définition IX.7. — Si A est un anneau local, on note A^{h} l’anneau local hensélien image de A par l’adjoint à droite considéré dans le théorème précédent. On l’appelle l’hensélisé de A.

Il existe donc un morphisme local A → A^{h} qui est initial parmi les morphismes locaux A → B dans un anneau local hensélien B.

La construction de l’hensélisé d’un anneau local dans loc. cit. permet par ailleurs d’obtenir le résultat suivant :

Proposition IX.9. — Soit X un schéma (noethérien) et x un point de X.

Alors, le pro-schéma X_{(x)}^{h} admet pour limite projective dans la catégorie des schémas le schéma local Spec(O_{X,x}^{h}).

Remarque IX.3. — Pour un anneau local A d’idéal maximal 𝔪, la construction de l’hensélisé de A utilise la catégorie des voisinages Nisnevich affine de 𝔪 dans Spec(A). En effet, on peut poser :

A^{h} = \underrightarrow{lim}_{V ∈V_{0}^{h}(Spec(A),𝔪)} A(V)

et la démonstration de loc. cit. consiste à vérifier que cet anneau vérifie la propriété universelle de l’hensélisé.

Remarque IX.4. — Fixons un schéma noethérien S. Alors, compte tenu de la proposition IX.4, le foncteur qui à un pro-objet essentiellement affine de ℒ_{S} associe sa limite projective établit une équivalence de catégorie entre la sous-catégorie des pro-schémas de la forme X_{(x)}^{h} et la catégorie des S-schémas locaux de la forme Spec(O_{X,x}^{h}).

On fera attention que le schéma local Spec(O_{X,x}^{h}) n’est pas en général de type fini sur S; ce n’est donc pas un objet de ℒ_{S}.

2. Faisceaux avec transferts

2.1. Définitions. —

IX.2.1.a. — Soit S un schéma régulier. Rappelons que la catégorie ℒ_{S}^{cor} définies dans VI.3 est additive et que le foncteur graphe

γ : ℒ_{S} → ℒ_{S}^{cor}

commute aux sommes finies.

Définition IX.8. — Un préfaisceau avec transferts est un foncteur additif F : (ℒ_{S}^{cor})^{op} → 𝒜b. On dit de plus que F est un faisceau avec transferts si le foncteur F ∘ γ est un faisceau Nisnevich sur ℒ_{S}.

On note 𝒫_{S}^{tr} (resp. 𝒩_{S}^{tr}) la catégorie des préfaisceaux (resp. faisceaux) avec transferts, les morphismes étant les transformations naturelles.

Le foncteur canonique 𝒫_{S}^{tr} → PFx(ℒ_{S}), F ↦ F ∘γ est noté γ_{∗}. On notera encore γ_{∗} le foncteur induit : 𝒩_{S}^{tr} → 𝒩_{S}.

Notons que si l’on se donne un foncteur F : (ℒ_{S}^{cor})^{op} → 𝒜b tel que F ∘ γ est un faisceau Nisnevich alors F commute aux sommes finies : il en résulte que F est automatiquement additif.

IX.2.1.b. — Considérons un morphisme étale p : W → Y ainsi qu’une S-correspondance finie α : Y •→ X. On écrit α = ∑_{i∈I} n_{i}.x_{i} où n_{i} est un entier non nul et x_{i} un point de Y X et on pose q = p ×_{S} 1_{X} : W X → Y X.

Notons Z_{i} l’adhérence réduite de x_{i} dans Y X. D’après la proposition VI.3, π(α) = α∘p = q^{∗}(α). Comme q est un morphisme plat, le corollaire V.12.1 et la définition du pullback plat implique :

q^{∗}(α) = ∑_{i∈I} n_{i}.⟨q^{−1}(Z_{i})⟩_{W X}.

Or Z_{i} est un schéma réduit et q^{−1}(Z_{i}) → Z_{i} est étale : il résulte du corollaire V.8.2 que q^{−1}(Z_{i}) est un schéma réduit. Donc, si l’on note x_{i} le point générique de Z_{i}, ⟨q^{−1}(Z_{i})⟩ est égale à la somme des points de l’ensemble fini q^{−1}({x_{i}}), chacun compté avec multiplicité 1 – rappelons que q est quasi-fini d’après les corollaires V.8.1 et V.5.1. Si l’on note ce cycle de manière suggestive q^{−1}(x_{i}), on obtient :

(IX.3)  α ∘ p = q^{∗}(α) = ∑_{i∈I} n_{i}.q^{−1}(x_{i}).

Proposition IX.10. — Soit X un S-schéma dans ℒ_{S}. Alors le foncteur Y ↦ c_{S} (Y, X) est un faisceau étale sur la catégorie ℒ_{S}.

Démonstration. — On considère un recouvrement étale (V_{i} → Y)_{i∈I} d’un S-schéma Y dans ℒ_{S} et on montre la que la suite exacte courte de la forme (VIII.60) pour le préfaisceau c_{S} (., X) est exacte (voir proposition VIII.5). Or, le préfaisceau c_{S} (., X) est additif. Si l’on pose W = ⊔_{i∈I}, le morphisme induit p : W → Y est un recouvrement étale et il suffit de vérifier l’exactitude de (VIII.60) pour ce dernier recouvrement.

On note p_{1}, p_{2} : W ×_{Y} W → W les deux projections canoniques et l’on pose q = p ×_{S} 1_{X}, q_{i} = p_{i} ×_{S} 1_{X}. D’après la formule (IX.3), il suffit de montrer l’exactitude de la suite de la suite

(IX.4)  0 → c_{S} (Y, X) ⟶^{q^{∗}} c_{S} (W, X) ⟶^{q_{1}^{∗}−q_{2}^{∗}} c_{S} (W ×_{X} W, X) .

Comme q est surjective, la formule (IX.3) montre que q^{∗} est injective.

Il reste donc à montrer que Ker(q_{1}^{∗} − q_{2}^{∗}) ⊂ Im(p^{∗}). Considérons donc un élément β ∈ c_{S} (W, X) tel que q_{1}^{∗}(β) = q_{2}^{∗}(β). On écrit β = ∑_{j∈J} m_{j}.y_{j} où m_{j} est un entier non nul et y_{j} est un point de W X. D’après la formule (IX.3) l’égalité précédente se traduit comme suit :

∑_{j∈J} m_{j}.q_{1}^{−1}(y_{j}) = ∑_{j∈J} m_{j}.q_{2}^{−1}(y_{j})

On déduit facilement de cette égalité les deux faits suivants :

1. Si q(y_{j}) = q(y_{k}) pour un couple (j, k) ∈ J^{2}, alors m_{j} = m_{k}.

2. Si z ∈ q^{−1}(q(y_{j})), il existe un indice k ∈ J tel que z = y_{k}.

Posons Σ = {q(y_{j}), j ∈ J}. Du point 1 ci-dessus, on obtient que pour tout x ∈ Σ, l’entier m_{x} = m_{j} est indépendant de l’indice j tel que x = p(y_{j}). Posons α = ∑_{x∈Σ} m_{x}.x vu comme un cycle de Y X. De la définition des multiplicités de α, du point 2 ci-dessus et de la formule (IX.3), il résulte que q^{∗}(α) = β.

Il reste à démontrer que α est une S-correspondance fini. Soit w un élément de Σ et W son adhérence réduite dans Y X. On considère le carré cartésien :

\xymatrix{V ×_{Y} W \ar[r] \ar[d]_{f′} & W \ar[d]^{f} \\ V \ar[r]^{p} & Y.}

Or W ×_{Y} V = q^{−1}(W) ; par construction, c’est donc une réunion de certains des schémas Z_{i} qui sont tous finis et pseudo-dominants sur V, puisque β est une S-correspondance finie. Ainsi, f′ est fini pseudo-dominant.

Or V lisse sur S, donc régulier (cf. proposition V.10). Il résulte donc du théorème V.17 que le morphisme f′ est fini universellement ouvert. Comme p est fidèlement plat, il résulte de [ÉGA IV, 2.6.4, 2.7.1] que f est fini universellement ouvert, ce qui conclut.

Définition IX.9. — Pour un schéma X dans ℒ_{S}, on note ℤ_{S}^{tr}(X) le faisceau avec transferts Y ↦ c_{S} (Y, X).

Notons que ℤ_{S}^{tr}(X) est fonctoriel covariant en X. Le lemme de Yoneda montre plus précisément qu’on a définit un foncteur pleinement fidèle :

ℒ_{S}^{cor} → 𝒩_{S}^{tr}, X ↦ ℤ_{S}^{tr}(X).

Rappelons de plus que si f : V → X est un morphisme dans ℒ_{S} et α : Y •→ V une Scorrespondance finie, la proposition VI.3 implique l’égalité :

f ∘ α = (1_{Y} ×_{S} f)_{∗}(α).

2.2. Faisceau avec transferts associé. —

IX.2.2.a. — On fixe à nouveau un schéma régulier S. Si X est un S-schéma quelconque, on note c_{0}(X/S) le groupe de cycles de X dont le support est fini pseudo-dominant sur S. Notons que le pushout des cycles fait de ce groupe un foncteur covariant par rapport aux S-morphismes séparés de type fini (voir la fin du raisonnement de VI.2.0.u).

Proposition IX.11. — Soit (Y, y) un schéma pointé dans ℒ_{S} et posons Y = Spec(O_{Y,y}^{h}) ( cf. définitionIX.7).

Alors, pour tout schéma X dans ℒ_{S} la fibre du faisceau Nisnevich ℤ_{S}^{tr}(X) associée à (Y, y) est canoniquement isomorphe au groupe abélien c_{0}(Y ×_{S} X/Y).

Notons de plus que l’isomorphisme canonique auquel se réfère cette proposition est naturel en X par rapport aux morphisme de ℒ_{S}.

IX.2.2.b. — Soit X un schéma dans ℒ_{S} et p : U → X un recouvrement Nisnevich. Pour tout entier n ∈ ℕ, on note U_{X}^{n} le produit fibré n-uple du X-schéma U. Rappelons que U_{X}^{•} est un schéma simplicial. Il en résulte que ℤ_{S}^{tr}(U_{X}^{•}) est un faisceau avec transferts simplicial. On lui associe donc un complexe de faisceaux avec transferts :

(IX.5)  ⋯ → ℤ_{S}^{tr}(U_{X}^{n+1}) ⟶^{d^{n}} ℤ_{S}^{tr}(U_{X}^{n}) → ⋯ → ℤ_{S}^{tr}(U) ⟶^{d^{0}} ℤ_{S}^{tr}(X) → 0

dont la différentielle d^{n} est la somme alternée des morphismes induits par les n + 1 projections canoniques de la forme U_{X}^{n+1} → U_{X}^{n}. Le théorème suivant est essentiellement du à Voevodsky :

Théorème IX.12. — Avec les notations précédentes, le complexe (IX.5) est acyclique dans la catégorie 𝒩_{S} – i.e. après application du foncteur O_{S}^{tr}.

Démonstration. — D’après la proposition IX.6, il suffit de considérer la fibre Nisnevich du complexe (IX.5) associée à un schéma pointé (Y, y) de ℒ_{S}.

Or appliquant le calcul de la proposition IX.11, on se ramène à montrer que le complexe de groupes abéliens suivant est acyclique :

⋯ → c_{0}(Y ×_{S} U/Y) → c_{0}(Y ×_{S} X/Y) → 0

Pour simplifier les notations, on peut donc supposer S = Spec(O_{Y,y}^{h}) est le spectre d’un anneau local hensélien^{(7)} et on doit montrer que le complexe C^{∗} tel que C^{n} = c_{0}(U_{X}^{n}/S) est acyclique.

Soit F l’ensemble, ordonné par inclusion, des sous-schémas fermés de X dont le support est fini pseudo-dominant sur S. On associe à un élément Z de F un sous-complexe C_{Z}^{∗} de C^{∗} en posant C_{Z}^{n} = c_{0}(U_{X}^{n} ×_{X} Z/S).

Alors, C^{∗} est la réunion des sous-complexes C_{Z}^{∗}. Donc si F est vide, C^{∗} est nul. Dans le cas contraire, F est un ensemble ordonné filtrant et il suffit de montrer que pour tout Z ∈ F, C_{Z}^{∗} est acyclique.

Or Z est fini sur S et S est le spectre d’un anneau local hensélien A. Il en résulte que Z est affine, Z = Spec(B), et d’après la définition IX.6, B est un produit d’anneaux locaux, qui sont nécessairement henséliens. Par définition, le morphisme q : U_{Z} → Z est un voisinage Nisnevich de chacun des points fermés de Z. Il résulte de la proposition IX.7 que p admet une section s : Z → U_{Z} dans la catégorie des schémas.

Or, C_{Z}^{∗} s’obtient en appliquant le foncteur covariant c_{0}(−/S) au S-schéma simplicial U_{Z}^{n} – dont les morphismes de transitions sont séparés de type fini. Comme la section s du morphisme q : U_{Z} → Z est un morphisme séparé de type fini, on en déduit que le complexe C_{Z}^{∗} est contractile : une contraction est donnée par la formule :

(s ×_{Z} 1_{U_{Z}^{n}})_{∗} : c_{0}(U_{Z}^{n}/S) → c_{0}(U_{Z}^{n+1}/S).

Traduisant le fait que le morphisme d_{0} de (IX.5) est un épimorphisme dans 𝒩_{S} et appliquant le corollaire VIII.7.2), on obtient :

Corollaire IX.12.1. — Sous les conditions du théorème précédent, pour toute correspondance finie α ∈ c_{S} (Y, X), il existe un recouvrement Nisnevich q : V → Y et une correspondance finie β ∈ c_{S} (V, U) telles que le diagramme suivant commute :

\begin{matrix}V & β & [figure] & • & q & [figure] & U & p & [figure] & Y & α & [figure] & • & X. \\ (IX.6) \end{matrix}

IX.2.2.c. — Soit P un préfaisceau sur ℒ_{S}. On note P_{τ} le préfaisceau avec transferts sur S suivant :

(ℒ_{S}^{cor})^{op} → 𝒜b, X ↦ Hom_{𝒩_{S}} (γ_{∗}(ℤ_{S}^{tr}(X)), F).

D’après le théorème précédent, si P est un faisceau Nisnevich, P_{τ} est un faisceau avec transferts.

Corollaire IX.12.2. — Soit P^{tr} un préfaisceau avec transferts sur S, P = P^{tr} ∘ γ. On note F le faisceau sur ℒ_{S} associé à P ( cf. théorème VIII.7) et η : P → F la transformation naturelle canonique associée.

Alors, il existe un unique faisceau avec transferts F^{tr} sur S tel que :

(7)C’est bien un anneau local régulier

1. On a une égalité de faisceaux sur ℒ_{S} : F = F^{tr} ∘ γ.

2. Pour toute S-correspondance finie α : Y •→ X, le diagramme suivant est commutatif :

[figure: P^{tr}(X); α^{∗}; P (X); η_{X}; F (X); F^{tr}(X); α^{∗}; P^{tr}(Y); P (Y); η_{Y}; F (Y); F^{tr}(Y).]

Démonstration. — Notons que, étant donnée un préfaisceau G sur ℒ_{S}, la donnée d’un préfaisceau avec transferts G^{tr} tel que G = G^{tr} ∘ γ est équivalente à la donnée d’une transformation naturelle

(IX.7)  G(X) ⊗_{ℤ} c_{S} (Y, X) → G(Y), ρ ⊗ α ↦ ⟨ρ, α⟩

de bifoncteurs, X et Y étant vus comme des objets de ℒ_{S}, satisfaisant les conditions suivantes :

(a) Dans le cas X = Y, ⟨ρ, 1_{X}⟩ = ρ.

(b) Pour toute S-correspondance finie β ∈ c_{S} (Z, Y), ⟨⟨ρ, α⟩, β⟩ = ⟨ρ, α ∘ β⟩.

Notons de plus que la donnée d’une transformation naturelle de la forme (IX.7) équivaut à la donnée d’une transformation naturelle de la forme

ϕ : G → G_{τ}

en utilisant la relation : ⟨ρ, α⟩_{ϕ} = [ϕ_{X}(ρ)]_{Y} .α.

Appliquant cette remarque au couple (P, P^{tr}) on obtient une transformation naturelle

ψ : P → P_{τ} .

Comme on l’a vu ci-dessus, le théorème précédent implique que F_{τ} est un faisceau Nisnevich. Par définition du faisceau associé F et de la transformation naturelle η, il existe donc une unique transformation naturelle ψ qui fait commuter le diagramme suivant :

\xymatrix{P \ar[r]^{ψ} \ar[d]_{η} & P_{τ} \ar[d]^{η_{τ}} \\ F \ar[r]^{ϕ} & F_{τ}}

Le morphisme ψ correspond donc à une transformation naturelle ⟨., ⟩_{ϕ} de la forme IX.7 dans le cas G = F. La commutativité du diagramme ci-dessus se traduit par la relation :

η_{Y} (⟨ρ, α⟩_{ψ}) = ⟨η_{X}(ρ), α⟩_{ϕ}.

L’unicité de ϕ montre donc en particulier du faisceau avec transferts F^{tr} satisfaisant les conditions 1 et 2 de l’énoncé.

Pour conclure, il nous reste à montrer les propriétés (a) et (b) de la transformation naturelle ⟨., .⟩_{ϕ}. Considérons un couple (ρ, α) ∈ F (X) × c_{S} (Y, X). Puisque F est le faisceau Nisnevich associé à P, il existe un recouvrement Nisnevich p : U → X et une section σ ∈ P (U) tel que p^{∗}(ρ) = η_{U}(σ). Par ailleurs, d’après le corollaire IX.12.2, on obtient un recouvrement Nisnevich q : V → Y et une S-correspondance finie β ∈ c_{S} (V, U) rendant le diagramme (IX.6) commutatif. Par naturalité de ⟨., .⟩_{ϕ}, on obtient :

q^{∗}⟨ρ, α⟩_{ϕ} = ⟨ρ, α ∘ q⟩_{ϕ} = ⟨ρ, p ∘ β⟩_{ϕ} = ⟨p^{∗}ρ, β⟩_{ϕ} = ⟨η_{U}(σ), β⟩_{ϕ} = η_{V} (⟨σ, β⟩_{ψ}).

Puisque q est un recouvrement, q^{∗} : F (X) → F (W) est injectif. On en déduit facilement à partir des propriétés (c) et (d) de ⟨., .⟩_{ψ} les propriétés analogues de ⟨., .⟩_{ϕ}.

L’assertion d’unicité du corollaire précédent nous montre que l’association P^{tr} ↦ F^{tr} est naturelle en P^{tr} et définit donc un foncteur a^{tr} : 𝒫_{S}^{tr} → 𝒩_{S}^{tr}.

Corollaire IX.12.3. — Le foncteur a^{tr} est l’adjoint à gauche du foncteur d’oubli 𝒩_{S}^{tr} → 𝒫_{S}^{tr}. De plus, le diagramme de foncteurs suivant est commutatif :

\xymatrix{𝒫_{S}^{tr} \ar[r]^{a^{tr}} \ar[d]_{γ_{∗}} & 𝒩_{S}^{tr} \ar[d]^{γ_{∗}} \\ PFx(ℒ_{S}) \ar[r]^{a} & 𝒩_{S}.}

Corollaire IX.12.4. — La catégorie 𝒩_{S}^{tr} est abélienne de Grothendieck avec pour générateurs les faisceaux avec transferts de la forme ℤ_{S}^{tr}(X) pour X un schéma dans ℒ_{S}.

Démonstration. — Etant donné que le foncteur γ_{∗} est conservatif, on déduit du corollaire précédent que le foncteur a^{tr} est exact.

La catégorie 𝒫_{S}^{tr} est abélienne de Grothendieck avec pour famille génératrice la famille des préfaisceaux avec transferts ℤ_{S}^{tr}(X) pour un schéma X dans ℒ_{S}. L’exactitude de a^{tr}, en tant qu’adjoint à gauche du foncteur pleinement fidèle 𝒩_{S}^{tr} → 𝒫_{S}^{tr}, montre que la catégorie 𝒩_{S}^{tr} est abélienne de Grothendieck. La proposition IX.10 montre l’assertion relative aux générateurs.

Remarque IX.5. — La forme des générateurs de 𝒩_{S}^{tr} nous permet d’écrire tout faisceau avec transferts F sur S de manière unique sous la forme :

(IX.8)  F = \underrightarrow{lim}_{X/F} ℤ_{S}^{tr}(X)

où X/F parcourt la catégorie des flèches ℤ_{S}^{tr}(X) → F de 𝒩_{S}^{tr} (pour le voir, il suffit d’appliquer le corollaire VIII.1.1 et le fait que a^{tr} commute aux colimites). Notons que cette écriture est naturelle en F dans le sens suivant : étant donné un morphisme η : F → G de faisceaux avec transferts sur S, on définit un foncteur :

φ_{η} : X/F → X/G

qui à une flèche ℤ_{S}^{tr}(X) → F associe la flèche composée ℤ_{S}^{tr}(X) → F ⟶^{η} G. On déduit de ce foncteur un morphisme canonique

( \underrightarrow{lim}_{X/F} ℤ_{S}^{tr}(X)) → ( \underrightarrow{lim}_{X/G} ℤ_{S}^{tr}(X))

qui s’identifie au morphisme η à travers les identifications (IX.8) pour F et G.

Notons finalement que le corollaire IX.5.4 avec l’analogue suivant dans la catégorie des faisceaux avec transferts :

Proposition IX.13. — Pour tout carré distingué de la forme (IX.1), la suite suivante est exacte courte dans 𝒩_{S}

(IX.9)  0 → ℤ_{S}^{tr}(W) \underrightarrow{(\begin{matrix}g_{∗} \\ −k_{∗} \end{matrix})} ℤ_{S}^{tr}(U) ⊕ ℤ_{S}^{tr}(V) ⟶^{(j_{∗},f_{∗})} ℤ_{S}^{tr}(X) → 0

En effet, pour vérifier l’exactitude de cette suite dans la catégorie abélienne 𝒩_{S}^{tr}, il suffit de vérifier qu’elle induit une suite exacte après application du foncteur Hom_{𝒩_{S}^{tr}} (−, F) pour tout faisceau avec transferts F ; cela résulte du lemme de Yoneda et du corollaire IX.5.3.

2.3. Fonctorialité. — Rappelons que pour un schéma régulier S, la catégorie ℒ_{S}^{cor} est monoïdale symétrique d’après la proposition VI.9.

Proposition IX.14. — Il existe une unique structure monoïdale symétrique fermée sur 𝒩_{S}^{tr} telle que le foncteur

ℤ_{S}^{tr} : ℒ_{S}^{cor} → 𝒩_{S}^{tr}

est monoïdal symétrique.

Démonstration. — Le produit tensoriel d’une catégorie monoïdale fermée est exact à droite : l’assertion d’unicité résulte donc du fait que l’image essentielle de ℤ_{S}^{tr} est génératrice dans la catégorie abélienne 𝒩_{S}^{tr}.

Pour des faisceaux avec transferts F et G sur S, on pose :

F ⊗_{S}^{tr} G = \underrightarrow{lim}_{X/F,Y/G} ℤ_{S}^{tr}(X ×_{S} Y)

suivant les notations de la remarque IX.5 appliquée à F et G. Cette définition est fonctorielle en F et G d’après la fontorialité de l’identification (IX.8).

Il est immédiat que cela définit un produit tensoriel symétrique sur ftrS. On définit \underline{Hom}_{S}(F, G) comme le faisceau avec transferts

X ↦ Hom_{𝒩_{S}^{tr}} (ℤ_{S}^{tr}(X) ⊗_{S}^{tr} F, G).

D’après le lemme de Yoneda, pour tout schéma X dans ℒ_{S},

Hom_{𝒩_{S}^{tr}} (ℤ_{S}^{tr}(X), \underline{Hom}_{S}(F, G)) = Hom_{𝒩_{S}^{tr}} (ℤ_{S}^{tr}(X) ⊗^{tr} F, G).

La propriété d’adjonction entre ⊗_{S}^{tr} et \underline{Hom}_{S} résulte donc de la remarque IX.5.

IX.2.3.a. — Soit Σ un schéma régulier et f : T → S un morphisme dans ℒ_{Σ}. On a définit en VI.7 un foncteur de changement de base :

ℒ_{S}^{cor} → ℒ_{T}^{cor}

que l’on note ici f_{0}^{∗}.

Si G est un faisceau avec transferts sur T, f_{∗}(G) := G∘f_{0}^{∗} est encore un faisceau avec transferts par définition de f_{0}^{∗}.

Soit F un faisceau avec transferts sur S. Avec les notations de la remarque IX.5, on pose :

f^{∗}(F) = \underrightarrow{lim}_{X/F} ℤ_{T}^{tr}(X ×_{S} T)

où la limite inductive est prise dans la catégorie des faisceaux avec transferts sur T. D’après la fonctorialité de l’identification (IX.8).

On vérifie facilement à partir du lemme de Yoneda que f^{∗} est adjoint à gauche de f_{∗} et on a donc définit un couple de foncteurs adjoints :

(IX.10)  f^{∗} : 𝒩_{S}^{tr} ⇆ 𝒩_{T}^{tr} : f_{∗}.

Notons que par définition f^{∗} prolonge f_{0}^{∗} à travers le foncteur ℤ_{S}^{tr} : ℒ_{S}^{cor} → 𝒩_{S}^{tr}. Cette propriété détermine le couple (f^{∗}, f_{∗}).

Supposons de plus que f : T → S est lisse séparé de type fini. On a définit au numéro VI.6 un foncteur de restriction

ℒ_{T}^{cor} → ℒ_{S}^{cor}

que l’on notera ici f_{♯}^{0}. On prolonge ce foncteur aux catégories de faisceaux avec transferts en associant à tout faisceau avec transferts G sur T le faisceau avec transferts sur S :

f_{♯}(G) = \underrightarrow{lim}_{Y/G} ℤ_{S}^{tr}(f_{♯}^{0}(Y))

avec les notations de la remarque IX.5.

Lemme IX.15. — Avec les notations précédentes, le foncteur f_{♯} est adjoint à gauche du foncteur f^{∗}.

Démonstration. — Notons aussi que si F est un faisceau avec transferts sur S, ϕ(F) := F ∘ f_{♯}^{0} est encore un faisceau avec transferts. On définit ainsi un foncteur ϕ; le lemme de Yoneda implique que ϕ est adjoint à droite du foncteur f_{♯}. Il reste donc à identifier les foncteurs ϕ et f^{∗}.

Compte tenu de l’adjonction (f_{♯}^{0}, f_{0}^{∗}) (voir corollaire VI.14), on obtient un isomorphisme canonique

ℤ_{T}^{tr}(X ×_{S} T) ≃ ϕ(ℤ_{S}^{tr}(X)).

qui est naturel en X par rapport aux S-correspondances finies. On en déduit par passage à la limite un isomorphisme :

f^{∗}(F) = \underrightarrow{lim}_{X/F} ℤ_{T}^{tr}(X ×_{S} T) ≃ \underrightarrow{lim}_{X/F} ϕ(ℤ_{S}^{tr}(X)).

Or, puisque ϕ commute aux limites inductives, le membre de droite de cet isomorphisme s’identifie au foncteur ϕ(F) grâce à (IX.8).

On a donc prolongé l’adjonction (f_{♯}^{0}, f_{0}^{∗}) en une adjonction de catégories abéliennes :

(IX.11)  f_{♯} : 𝒩_{T}^{tr} ⇆ 𝒩_{S}^{tr} : f^{∗}.

Les propriétés suivantes résultent maintenant formellement de leur analogue dans les catégories ℒ_{?}^{cor} :

1. Soit f : T → S un morphisme lisse séparé de type fini, F un faisceau avec transferts sur S et G un faisceau avec transferts sur T. Alors, f_{♯}(f^{∗}(F) ⊗ G) = F ⊗ f_{♯}(G).

2. Considérons un carré cartésien de schémas

\xymatrix{T′ \ar[r]^{q} \ar[d]_{g} & S′ \ar[d]^{f} \\ T \ar[r]^{p} & S.}

tel que p est lisse séparé de type fini et f est un morphisme dans ℒ_{Σ}. Alors, pour tout faisceau avec transferts G sur T, f^{∗}p_{♯}(G) = q_{♯}g^{∗}(G).

2.4. Complexes motiviques. — Dans cette section, nous donnons une première définition des complexes motiviques en s’appuyant notamment sur la théorie de Neeman concernant les localisations de catégorie triangulées. Les résultats énoncés dans ce qui suit seront repris par la suite.

Définition IX.10 (Neeman). — Soit 𝒯 une catégorie triangulée admettant des sommes infinies.

Nous dirons qu’une sous-catégorie triangulée 𝒬 de 𝒯 est localisante si elle est stable par somme infinie.

D’après la remarque VII.4, une sous-catégorie triangulée localisante est une sous-catégorie triangulée épaisse (définition VII.7).

IX.2.4.a. — Considérons un schéma régulier S. La catégorie abélienne 𝒩_{S}^{tr} des faisceaux avec transferts sur S est abélienne de Grothendieck. On a vu dans le corollaire VII.7.1 que sa catégorie dérivée D(𝒩_{S}^{tr}) (cf. paragraphe VII.1.3.b) admet une structure triangulée canonique telle que le foncteur canonique

(IX.12)  K(𝒩_{S}^{tr}) → D(𝒩_{S}^{tr})

est triangulé.

Notons que la catégorie D(𝒩_{S}^{tr}) admet des sommes infinies.^{(8)} On note 𝒯_{S}^{𝔸^{1}} la plus petite sous-catégorie triangulée localisante de D(𝒩_{S}^{tr}) contenant les complexes de la forme :

… 0 → ℤ_{S}^{tr}(𝔸_{X}^{1}) ⟶^{p_{∗}} ℤ_{S}^{tr}(X) → 0 …

où p est la projection canonique la droite affine 𝔸_{X}^{1} sur X, pour un schéma X dans ℒ_{S}.

Définition IX.11. — Avec les notations précédentes, on note DM^{eff}(S) la catégorie triangulée quotient D(𝒩_{S}^{tr})/𝒯_{S}^{𝔸^{1}} (définition VII.8).

Suivant Morel et Voevodsky, on appelle DM^{eff}(S) la 𝔸^{1}-localisation de D(𝒩_{S}^{tr}).

IX.2.4.b. — Considérons le foncteur canonique, pleinement fidèle,

ℤ_{S}^{tr} : ℒ_{S}^{cor} → 𝒩_{S}^{tr}.

Puisqu’il est additif, il induit un unique foncteur triangulé

K(ℒ_{S}^{cor}) → K(𝒩_{S}^{tr})

qui nous permet à partir de (IX.12) de définir un foncteur triangulé canonique :

K^{b}(ℒ_{S}^{cor}) → D(𝒩_{S}^{tr}) → DM^{eff}(S).

D’après la proposition IX.13, pour tout carré Nisnevich distingué de la forme (IX.1), le complexe de faisceaux avec transferts (IX.9) est acyclique. D’après la définition VII.10, le foncteur précédent induit donc un unique foncteur triangulé :

(IX.13)  DM_{gm}^{eff}(S) → DM^{eff}(S).

Remarque IX.6. — Nous verrons plus tard que ce foncteur est pleinement fidèle et nous déterminerons son image dans DM^{eff}(S).

(8)Simplement parce que les sommes infinies dans 𝒩_{S}^{tr} sont exactes d’après IX.12.4.

Définition IX.12. — Soit P un préfaisceau abélien sur ℒ_{S} (resp. ℒ_{S}^{cor}). On dit que P est invariant par homotopie si pour tout schéma lisse X, le morphisme

P (X) ⟶^{p^{∗}} P (𝔸_{X}^{1})

induit par la projection canonique de la droite affine 𝔸_{X}^{1} est un isomorphisme.

Soit K un complexe de 𝒩_{S} (resp. 𝒩_{S}^{tr}). On dit que K est 𝔸^{1}-local si pour tout entier i ∈ ℤ, le préfaisceau H_{Nis}^{i}(−, K) (resp. H_{Nis}^{i}(−, γ_{∗}(K))) est invariant par homotopie.

Un complexe motivique K sur S est un complexe de faisceaux avec transferts sur S tel que pour tout entier i ∈ ℤ, le préfaisceau

X ↦ Hom_{D(𝒩_{S}^{tr})} (ℤ_{S}^{tr}(X), K[i])

est invariant par homotopie.

Remarque IX.7. — Nous verrons plus tard qu’il existe un isomorphisme canonique H_{Nis}^{i}(X, γ_{∗}(K)) = Hom_{D(𝒩_{S}^{tr})} (ℤ_{S}^{tr}(X), K[i]). Ainsi, un complexe motivique est un complexe de faisceaux avec transferts 𝔸^{1}-local.

Le théorème de représentabilité de Brown de Neeman nous permet de donner une première démonstration du théorème suivant^{(9)} :

Théorème IX.16. — Le foncteur de projection canonique

D(𝒩_{S}^{tr}) → DM^{eff}(S)

induit une équivalence de catégorie entre DM^{eff}(S) et la sous-catégorie pleine de D(𝒩_{S}^{tr}) formée des complexes motiviques.

D’après le théorème 0.2 de [Nee01a], la catégorie D(𝒩_{S}^{tr}) est bien engendrée dans le sens de la remarque 8.1.7 de [Nee01b]. Il en résulte qu’on peut appliquer le théorème 9.1.16 de [Nee01b] à la catégorie triangulée D(𝒩_{S}^{tr}) ainsi qu’à la sous-catégorie triangulée localisante 𝒯_{S}^{𝔸_{S}^{1}}. Ceci démontre le théorème précédent puisque les objets 𝒯_{S}^{𝔸^{1}}-locaux dans le sens de la définition 9.1.3 de loc. cit. sont précisément les complexes motiviques.

Références

[AGV73] M. Artin, A. Grothendieck & J.-L. Verdier – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, Lecture Notes in Mathematics, vol. 269, 270, 305, Springer-Verlag, 1972–1973, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois–Marie 1963–64 (SGA 4).

[Nee01a] A. Neeman – « On the derived category of sheaves on a manifold », Doc. Math. 6 (2001), p. 483–488 (electronic).

[Nee01b] , Triangulated categories, Annals of Mathematics Studies, vol. 148, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001.

[Ray70] M. Raynaud – Anneaux locaux henséliens, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 169, Springer-Verlag, Berlin, 1970.

2009-2010 Frédéric Déglise, CNRS, LAGA (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, 99 avenue Jean-Baptiste

Clément, 93430 Villetaneuse FRANCE, Tel. : +33 1 49 40 35 77 • E-mail : deglise@math.univ-paris13.fr

Url : http://www.math.univ-paris13.fr/~deglise/ (9)nous redonnerons une démonstration de ce résultat plus tard.