Table des matières

Cours III. Invariants cohomologiques des schémas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 III.1. Premiers pas en cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

III.1.a. Bases de l’algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 III.1.b. Cohomologie des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 III.1.c. Application à l’étude des courbes algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

III.2. Suite exacte exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

COURS III INVARIANTS COHOMOLOGIQUES DES SCHÉMAS I

III.1. Premiers pas en cohomologie

III.1.1. — La cohomologie accompagne la genèse de la théorie des schémas de Grothendieck. C’est même la volonté de développer une théorie cohomologique des variétés algébriques qui a été la motivation première du travail de Grothendieck.

III.1.a. Bases de l’algèbre homologique. —

Exemple III.1.2. — Considérons un entier n > 0. Pour tout groupe abélien A, la multiplication par n dans A définie un morphisme de groupes A → A, x ↦ n.x. On note A_{n} (resp. A/n) le noyau (resp. conoyau) de ce morphisme, qui est appelé le sous-groupe de n-torsion de A. On a ainsi définit un foncteur F_{n} : A ↦ A_{n} (resp. G_{n} : A ↦ A/n).

On vérifie facilement qu’étant donnée une suite exacte de groupes abéliens

(III.1)  0 → A′ ⟶^{u} A ⟶^{v} A′′ → 0

la suite suivante est exacte

0 → A′_{n} ⟶^{F_{n}(u)} A_{n} ⟶^{F_{n}(v)} A′′_{n}.

Par contre, bien que v soit supposée surjective, il peut arriver que F_{n}(v) ne soit pas surjective.^{(1)} L’algèbre homologique a pour but originel, de comprendre le défaut de surjectivité de F_{n}(v). D’un point de vue terminologique : si un endofoncteur F : 𝒜b → 𝒜b transforme les suites

exactes (courtes) en suites exactes (resp. à gauche, à droite), on dit que F est exact (resp. exact à gauche, exact à droite).

Ainsi, le foncteur F_{n} défini précédemment est exact à gauche mais pas exact à droite. La théorie des foncteurs dérivés permet de comprendre ce défaut.

Rappelons la proposition suivante :

Proposition III.1.3. — Considérons les notations précédentes. A toute suite exacte de la forme (III.1), on associe un morphisme canonique :

δ : A′′_{n} → A′/n

naturel par rapport aux morphismes de suites exactes courtes et qui s’inscrit dans la suite exacte suivante :

(III.2)  0 → A′_{n} ⟶^{F_{n}(u)} A_{n} ⟶^{F_{n}(v)} A′′_{n} ⟶^{δ} A′/n → A/n → A′′/n → 0.

1. L’exemple le plus évident est le cas où v est la projection canonique ℤ → ℤ/nℤ.

Le noyau de δ et plus généralement la suite exacte longue ci-dessus permettent donc de comprendre le défaut de surjectivité de F_{n}(v).

Démonstration. — On considère le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{0 \ar[r] & A \ar[r]^{u} \ar[d]^{n} & A′ \ar[r]^{v} \ar[d]^{n} & A′′ \ar[r] \ar[d]^{n} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{u} & A′ \ar[r]^{v} & A′′ \ar[r] & 0.}

D’après les définitions du paragraphe précédent cette proposition, on obtient un diagramme commutatif :

\xymatrix{ & A_{n} \ar[r]^{F_{n}(u)} \ar[d]^{n} & A′_{n} \ar[r]^{F_{n}(v)} \ar[d]^{n} & A′′_{n} \ar[d]^{n} \\ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{u} \ar[d]^{n} & A′ \ar[r]^{v} \ar[d]^{n} & A′′ \ar[r] \ar[d]^{n} & 0 \\ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{u} \ar[d]^{n} & A′ \ar[r]^{v} \ar[d]^{n} & A′′ \ar[r] \ar[d]^{n} & 0 \\  & A/n \ar[r] & A′/n \ar[r] & A′′/n.}

Le lemme du serpent appliqué à ce diagramme donne alors précisément l’existence du morphisme δ et de la suite exacte (III.2). Notons pour être plus précis que l’exactitude à droite de cette suite résulte du fait que G_{n} est exact à droite.

Exemple III.1.4. — Dans le cas où A = ℚ, pour toute suite exacte de la forme (III.1), F_{n}(v) est surjectif. En effet, dans ce cas, A/n = 0 et donc Ker(δ) = A′_{n}.

Plus généralement, ce raisonnement s’applique à tout groupe abélien A tel que A/n = 0 – on dit alors que A est n-divisible.

III.1.5. — Concernant la terminologie :

– On dit que le foncteur G_{n} : A ↦ A/n est le premier foncteur dérivé à droite du foncteur (exact à gauche) F_{n}. On note : R^{1}F_{n} := G_{n}.

– La suite exacte (III.2) est appelée suite exacte (longue) de cohomologie associée au foncteur

F_{n}. La méthode présentée ici s’applique à d’autres endofoncteurs de la catégorie des groupes abéliens. On peut aussi l’étendre à d’autres catégories, comme par exemple celle des modules sur un anneau. La théorie qui en résulte s’appelle l’algèbre homologique.

Grothendieck a montré comment étendre cette théorie à des catégories encore plus générales, qu’il a appelée catégories abéliennes. Dans ce cours, notre principal exemple sera la catégorie des faisceaux abéliens sur un schéma.

III.1.b. Cohomologie des faisceaux. —

III.1.6. — On va appliquer la méthode de la section précédente à la catégorie des faisceaux abéliens sur un schéma X.

Si F est un tel faisceau, on pose Γ(X, F) := F (X) et on l’appelle le groupe des sections globales. Dans ce paragraphe, nous le notons simplement Γ sans référence à X.

On a ainsi définit un foncteur :

Γ : 𝒜b_{X} → 𝒜b, F ↦ Γ(F) := Γ(X, F).

Considérons une suite exacte courte de faisceaux (cf Paragraphe II.1.9) :

(III.3)  0 → F′ ⟶^{u} F ⟶^{v} F′′ → 0.

Si on applique le foncteur Γ à cette suite exacte, on en déduit une suite exacte courte :

0 → Γ(F′) ⟶^{u} Γ(F) ⟶^{v} Γ(F′′).

En effet, le noyau d’un morphisme de faisceaux se calcule termes à termes (Paragraphe II.1.7), donc le foncteur Γ commute aux noyaux :

Γ(Ker(v)) = Ker(Γ(v)).

Par contre, le conoyau d’un morphisme de faisceaux ne se calcule pas termes à termes : Γ ne commute pas en général aux conoyaux. En généralisant la terminologie de la section précédente, on dit que le foncteur Γ est exact à gauche.

Exemple III.1.7. — Soit X = 𝔸_{k}^{1} la droite affine sur un corps k, G un groupe abélien et G_{X} le faisceau abélien constant sur X de groupe G (voir Exemple II.1.2). Rappelons que : Γ(X, G_{X}) = G^{π_{0}(X)}.

Soit Z = {0, 1} vu comme un sous-schéma fermé de X d’immersion i : Z → X. On peut définir un morphisme canonique de faisceaux abéliens sur X :

ν : ℤ_{X} → i_{∗}(ℤ_{Z})

en associant à un ouvert U ⊂ X le morphisme canonique ℤ^{π_{0}(U)} → ℤ^{π_{0}(U∩Z)}. On vérifie que ν est un épimorphisme en considérant les fibres de ces faisceaux. Pourtant, le morphisme :

Γ(ν) : ℤ = ℤ^{π_{0}(X)} → ℤ^{π_{0}(Z)} = ℤ^{2}

ne peut pas être un épimorphisme.

III.1.8. — Dans le cours d’A. Thuillier, on a vu comment obtenir l’analogue de la proposition III.1.3.

A un faisceau F, on associe un complexe G^{•}(F) appelé résolution de Godement de F et tel que la suite de faisceaux :

(III.4)  0 → F → G^{•}(F)

est exacte.

Si on applique le foncteur Γ termes à termes au complexe G^{•}(F) on obtient un complexe de faisceaux :

Γ(G^{0}(F)) → … → Γ(G^{i−1}(F)) ⟶^{d^{i−1}} Γ(G^{i}(F)) ⟶^{d^{i}} Γ(G^{i+1}(F)) → …

Pour tout entier i ≥ 0, on note R^{i}Γ(F) le i-ème faisceau de cohomologie de ce complexe :

R^{i}Γ(F) := Ker(d^{i})/Im(d^{i−1}).

Notons que du fait que Γ est exact à gauche et d’après l’exactitude de la suite (III.4), R^{0}Γ(F) = Γ(F).

Avec ces notations, l’analogue de la proposition III.1.3 s’énonce comme suit :

Proposition III.1.9. — Considérons les notations précédentes. Pour toute suite exacte (courte) (III.3) de faisceaux abéliens, il existe une suite exacte (longue) de faisceaux abéliens :

0 →Γ(F′) ⟶^{u} Γ(F) ⟶^{v} Γ(F′′)

⟶^{δ^{0}} R^{1}Γ(F′) → R^{1}Γ(F) → R^{1}Γ(F′′)

⟶^{δ^{2}} R^{2}Γ(F′) …

Démonstration. — Il s’agit à nouveau d’une application du lemme du serpent appliqué à chaque étage des morphismes de complexes :

Γ(G^{•}(F′)) → Γ(G^{•}(F)) → Γ(G^{•}(F′′)).

Définition III.1.10. — Considérons les notations de la proposition précédente.

On appelle le foncteur R^{i}Γ : 𝒜b_{X} → 𝒜b les i-ème foncteur dérivé à droite du foncteur (exact à gauche) Γ.

Par ailleurs, pour tout faisceau F et tout entier i ≥ 0, on pose encore :

H^{i}(X, F) = R^{i}Γ(F)

– parfois, on trouve aussi la notation R^{i}Γ(X, F) := R^{i}Γ(F).

La suite exacte de la proposition précédente est appelée la suite exacte longue de cohomologie associée à la suite exacte courte (III.3).

On utilisera la cohomologie dans le cas particulier où E est un O_{X}-module.

Remarque III.1.11. — Si X est un k-schéma et E un O_{X}-module, alors E est en particulier un faisceau de k-espaces vectoriels (car tout O_{X}(U) a une structure canonique de k-espace vectoriel).

Il en résulte la résolution de Godement G^{•}(E) de E est un complexe de faisceaux de k-espaces vectoriels.

Cela implique que les groupes abéliens H^{i}(X, E) ont une structure de k-espace vectoriel (le même raisonnement est valable si on remplace la corps k par un anneau quelconque).

Rappelons la définition suivante :

Définition III.1.12. — Soit X un schéma et E un faisceau de O_{X}-module.

On dit que le O_{X}-module E est quasi-cohérent (resp. cohérent) si pour tout ouvert affine U = Spec(A) de X, il existe un A-module M (resp. de présentation finie) tel que E ≃ M̃ (notation de l’exemple II.2.2).

Exemple III.1.13. — – Tout O_{X}-module localement libre de rang fini est en particulier

cohérent.

– Soit X un schéma affine.

D’après cette définition et l’exemple II.2.2, il est évident que la catégorie des O_{X}-modules quasi-cohérents (resp. cohérents) est équivalente à la catégorie des A-modules (resp. de présentation finie).

III.1.14. — On peut résumer les bases de la théorie cohomologique des faisceaux cohérents pour un schéma X et un O_{X} module cohérent E par les résultats suivants (que nous traiterons dans la partie sur la cohomologie) : Th. 0. Si X est un schéma noethérien de dimension d,^{(2)} H^{i}(X, E) = 0 si i > d. Th. 1. Si X est affine, H^{i}(X, E) = 0 si i > 0. Th. 2. Si X = ℙ_{k}^{r} est un espace projectif, E = O_{X}(n) pour un entier n ∈ ℤ,

H^{m}(ℙ_{k}^{r}, O_{X}(n)) = \begin{cases}k[t_{0}, ...t_{r}]_{n} & si m = 0, n ≥ 0, \\ (k[t_{0}, ...t_{r}]_{−n−r−1})^{∨} & si m = r, n ≤ −r − 1, \\ 0 & sinon. \end{cases}

2. i.e. il n’existe pas de suite strictement décroissante de fermés irréductibles de X formée de plus de d + 1 éléments.

où k[t_{0}, ...t_{r}]_{n} désigne le k-espace vectoriel formé des polynômes en t_{0}, ..., t_{r} homogènes de degré total n, et E^{∨} désigne le dual d’un k-espace vectoriel E.

Th. 3. Si X est un k-schéma propre, H^{m}(X, E) est un k-espace vectoriel de dimension finie.

Les deux premiers théorèmes sont dus à Serre – le deuxième théorème a été vu au premier semestre.

Le troisième théorème est du à Serre dans le cas où X est projectif et à Grothendieck dans le cas où X est propre.

Remarque III.1.15. — Nous reviendrons sur ces résultats.

Notons que le théorème (3) se déduit du théorème (2) grâce aux faits suivants :

– Dans le cas où X = ℙ_{k}^{n} et E est un faisceau cohérent : le cas où E est une somme finie de faisceaux de la forme O_{X}(n) résulte du point (2).

– On passe de là au cas d’un faisceau cohérent E en utilisant le fait que E est un quotient d’une somme finie de faisceaux O_{X}(n) et la méthode du dévissage (voir cours sur la cohomologie).

– On en déduit le cas où X est un schéma projectif : alors il existe une immersion fermée i : X → ℙ_{k}^{r} pour un entier r > 0. Le faisceau i_{∗}(E) est cohérent sur ℙ_{k}^{r} et on montre l’isomorphisme :

H^{m}(X, E) = H^{m}(ℙ_{k}^{r}, i_{∗}(E)).

– On passe du cas où X est projectif sur k au cas d’un k-schéma propre en utilisant le lemme de Chow.

III.1.16. — Soit X un k-schéma propre et E un O_{X}-module cohérent. Alors X est de dimension finie et il résulte des théorèmes 0 et 3 ci-dessus que les k-espaces vectoriels H^{m}(X, E) sont de dimension finie et nuls pour m assez grand.

Ainsi, l’entier

χ(X, E) := ∑_{m≥0}(−1)^{m}. dim_{k}(H^{m}(X, E))

Définition III.1.17. — Sous les hypothèses qui précèdent, on appelle l’entier χ(X, E) la charactéristique d’Euler-Poincaré du faisceau E.

On note χ(X) = χ(X, O_{X}) et on appelle cet entier la caractéristique d’Euler-Poincaré de X/k.

Exemple III.1.18. — Pour toute suite exacte de faisceaux cohérents sur un k-schéma propre X

0 → E′ → E → E′′ → 0,

on déduit de la suite exacte longue de cohomologie qui lui est associée (Proposition III.1.9) la relation suivante :

χ(X, E) = χ(X, E′) + χ(x, E′′).

Le théorème central pour la suite est le résultat de dualité suivant :

Théorème III.1.19 (Serre). — Soit X une courbe propre et lisse sur un corps k. Alors, pour tout O_{X}-module localement libre E de rang fini, il existe un isomorphisme canonique :

H^{1}(X, E)^{∨} ≃ H^{0}(X, E^{∨} ⊗ ω_{X})

où E^{∨} := \underline{Hom}(E, O_{X}) est le dual de E et le membre de droite désigne le dual du k-espace vectoriel de dimension finie H^{n}(X, E).

Corollaire III.1.20. — Dans les conditions du théorème précédent, on obtient un isomorphisme canonique :

H^{1}(X, O_{X})^{∨} ≃ H^{0}(X, ω_{X}) = Γ(X, ω_{X}).

III.1.c. Application à l’étude des courbes algébriques. —

III.1.21. — Fixons dans toute cette section un corps k.

Rappelons qu’une courbe algébrique C sur k est un k-schéma de type fini de dimension 1. Cela équivaut à l’une des deux conditions équivalentes suivantes :

(i) tout point de C est ou bien un point générique ou bien un point fermé. (ii) pour tout point générique η de C, l’extension résiduel κ(η)/k est de degré de transcendance

1. Dans le cas où C est lisse sur k, nous avons déjà rappelé que cela équivaut à dire que le O_{C}-module Ω_{C/k} est inversible.

Définition III.1.22. — Soit X une courbe propre sur un corps k.

On définit le genre de C comme l’entier :

g = dim_{k}(H^{1}(X, O_{X}))

qui est fini d’après le [Th. 3] rappelé dans le paragraphe III.1.14.

D’après le théorème de dualité de Serre dans le cas des courbes (et plus exactement son Corollaire III.1.20), le genre d’une courbe propre et lisse X sur k est égal à la dimension du k-espace vectoriel des sections globales du faisceau canonique de X/k :

(III.5)  g = dim_{k}(Γ(X, ω_{X})).

Exemple III.1.23. — D’après le [Th. 2] du paragraphe III.1.14, H^{1}(ℙ_{k}^{1}, O_{X}) = 0 : ainsi, la droite projective est une courbe de genre 0.

III.1.24. — Soit k un corps de base.

On dit qu’un k-schéma X est géométriquement intègre si pour toute extension finie L/k, le schéma X ×_{k} Spec(L) est intègre. Ayant fixée une clôture algébrique k̄ de k, il revient au même de demander que le schéma X̄ := X ×_{k} Spec(k̄) est intègre.

Proposition III.1.25. — Soit X un k-schéma propre et géométriquement intègre. Alors, Γ(X, O_{X}) = k.

Démonstration. — On commence par le cas où X est de plus fini sur k. Un morphisme fini étant affine, on a nécessairement X = Spec(A) pour A une k-algèbre finie. Par hypothèse, sur X, A est intègre. On en déduit en particulier que A est un corps^{(3)} extension finie de k.

Soit a un élément de A, et π son polynôme minimal de sorte que A contient l’extension de corps B = k[t]/(π). Or B̄ = (k[t]/(π)) ⊗_{k} k̄ = k̄^{d} où d est le degré de π. Or du fait que B̄ est une sous-k-algèbre de A ⊗_{k} k̄, qui est supposé intègre par hypothèse, on déduit que B̄ est intègre, ce qui équivaut à dire que d = 1, i.e. a ∈ k.

Pour le cas général, du fait que X est propre sur k et d’après le théorème de finitude de la cohomologie des faisceaux cohérents (Paragraphe III.1.14, [Th. 3]), on obtient H^{0}(X, O_{X}) = Γ(X, O_{X}) est une k-algèbre finie. Or Γ(X, O_{X}) ⊗_{k} k̄ = Γ(X̄, OX̄) et on déduit du fait que X̄ est intègre le fait que Γ(X, O_{X}) est une k-algèbre finie géométriquement intègre. On est donc réduit au cas traité précédemment.

Exemple III.1.26. — Soit X une courbe algébrique propre, lisse et géométriquement intègre sur un corps k.

On déduit de la proposition précédente que dim_{k} H^{0}(X, O_{X}) = 1. Appliquant le [Th. 0] du paragraphe III.1.14 et le fait que X est de dimension 1, on obtient pour tout i > d, dim_{k} H^{i}(X, O_{X}) = 0.

3. En effet, pour tout a ∈ A − {0}, l’endomorphisme k-linéaire A → A, x ↦ a.x est injectif et donc bijectif comme A/k est de dimension finie.

Ainsi, on obtient la relation fondamentale entre le genre de la courbe X/k et sa caractéristique d’Euler-Poincaré :

(III.6)  χ(X, O_{X}) = 1 − g.

Remarque III.1.27. — L’étude des courbes propres, lisses et géométriquement intègre sur un corps k se ramène (dans une certaine mesure) à celle des courbes propres lisses connexes sur la clôture séparable de k du fait que le foncteur d’extension des scalaires de k à k̄ est fidèlement plat.

Si l’on veut, on peut donc se restreindre au cas d’un corps de base algébriquement clos.

III.2. Suite exacte exponentielle

III.2.1. — Soit X un ℂ-schéma projectif X. Alors, l’ensemble X(ℂ) peut-être muni d’une structure d’espace analytique^{(4)}

On note traditionnellement X^{an} (ou X^{h} dans la notation originalle de Serre) cet espace analytique. Cette association est fonctorielle. On peut de plus l’étendre en un foncteur associant à un O_{X}-module cohérent E un faisceau abélien sur X^{an} muni d’une structure de O_{X^{an}}-module analytique cohérent E^{an}.

D’après un théorème célèbre de Serre, ce foncteur est une équivalence de catégories (cf [Ser56, Th. 3]). De plus on obtient un isomorphisme de groupes de cohomologie :

H^{∗}(X, E) ⟶^{∼} H^{∗}(X^{an}, E^{an})

III.2.2. — Soit X un schéma projectif lisse sur ℂ et posons 𝔛 = X^{an}.

La fonction exponentielle sur ℂ induit une suite exacte de groupes abéliens :

0 → ℤ ⟶^{2i.π} ℂ^{×} ⟶^{exp} ℂ → 0.

En considérant les fonctions holomorphes sur X à valeurs dans la suite exacte ci-dessus on obtient une suite exacte dite exponentielle :

0 → ℤ_{𝔛} ⟶^{2i.π} O_{𝔛}^{×} ⟶^{exp} O_{𝔛} → 0

où ℤ_{X} désigne le faisceau constant de valeur ℤ sur X. On en déduit une suite exacte longue de cohomologie :

H^{1}(𝔛, ℤ_{𝔛}) → H^{1}(𝔛, O_{𝔛}) → H^{1}(𝔛, O_{𝔛}^{×}) ⟶^{c_{1}} H^{2}(𝔛, ℤ_{𝔛}) → H^{2}(𝔛, O_{𝔛})

La cohomologie du faisceau de X à valeur dans le faisceau constant ℤ s’identifie à la cohomologie singulière de l’espace topologique sous-jacent, soit X(ℂ). C’est la cohomologie de Betti de X :

H_{B}^{∗}(X, ℤ) = H_{sing}^{∗}(X(ℂ), ℤ).

D’après le théorème de Serre, H^{i}(𝔛, O_{𝔛}) = H^{i}(X, O_{X}). D’après un principe général, le groupe abélien H^{1}(𝔛, O_{𝔛}^{×}) s’identifie aux classes d’isomorphies de O_{𝔛}-modules inversibles. D’après le théorème du paragraphe précédent, il s’agit du groupe de Picard de X.

La suite exacte précédente prend donc la forme plus classique :

(III.7)  H_{B}^{1}(X, ℤ) → H^{1}(X, O_{X}) → Pic(X) ⟶^{c_{1}} H_{B}^{2}(X, ℤ) → H^{2}(X, O_{X})

Notons que pour tout O_{X}-module inversible L, la classe de cohomologie c_{1}(L) est appelée la classe de Chern de L.

4. i.e. un espace annelé qui est localement un fermé de ℂ^{n} défini par des équations holomorphe muni de son anneau de fonctions holomorphes (à valeurs dans ℂ).

III.2.3. — Considérons le cas d’une courbe algébrique projective lisse X sur ℂ. Alors X(ℂ) est une variété différentiable compacte de dimension 2 – ou encore une surface de Riemann compacte. Il en résulte que H_{B}^{2}(X, ℤ) = ℤ, et l’application c_{1} ci-dessus n’est autre que l’application degré :

(III.8)  Pic(X) → ℤ, L ↦ deg(α_{X}(L))

qui est surjective.^{(5)} La dualité de Serre donne un isomorphisme de ℂ-espace vectoriels :

H^{1}(X, O_{X}) ≃ [Γ(X, ω_{X})]^{∗}

où ω_{X} est le faisceau des formes différentielles (algébriques) sur X. On déduit donc de (III.7) une suite exacte de groupes abéliens :

H_{B}^{1}(X, ℤ) ⟶^{I} [Γ(X, ω_{X})]^{∗} → Pic(X) ⟶^{deg} ℤ → 0

Notons que par définition, le ℂ-espace vectoriel H^{0}(X, ω_{X} = Γ(X, ω_{X}) des formes différentielles algébriques sur X est de dimension g où g est le genre de X.

Rappelons finalement que H_{B}^{1}(X, ℤ) est égal au groupe des lacets de X(ℂ) à homotopie près.^{(6)} De plus, l’application I s’identifie à l’application qui à un lacet γ de X(ℂ) associe le forme linéaire sur Γ(X, ω_{X}) qui à une forme différentielle ω associe :

I(γ).ω = ∫_{γ} ω.

Il résulte de la classification des surfaces de Riemann que X(ℂ) est homéomorphe à un tore à g trous. Le groupe H_{B}^{1}(X, ℤ) est donc isomorphe à ℤ^{2g}. Par ailleurs, l’image de I est isomorphe à un réseau Λ de H^{1}(X, O_{X}) = Γ(X, ω_{X})^{∗}.

Si l’on note Pic^{0}(X) le groupe des classes de diviseurs (i.e. de O_{X}-modules inversibles) de degré 0), la suite exacte précédente donne donc un isomorphisme de groupes abéliens :

[Γ(X, ω_{X})]^{∗}/H_{B}^{1}(X, ℤ) ≃ Pic^{0}(X).

Notons que le groupe quotient

coKer(I) = Γ(X, ω_{X})^{∗}/H_{B}^{1}(X, ℤ)

n’est pas autre chose que ce que l’on a appelé la jacobienne de X(ℂ) définie en I.2.4. Voici donc une forme moderne de cette même définition en termes cohomologiques :

Définition III.2.4. — Avec les notations qui précédent, on appelle les groupes abéliens isomorphes :

[Γ(X, ω_{X})]^{∗}/H_{B}^{1}(X, ℤ) ≃ Pic^{0}(X),

munis de leur structure naturelle de variété algébrique complexe, la jacobienne J(X) de X.

D’après ce qui a été rappelé dans la discussion précédente, J(X) est isomorphe au groupe quotient ℂ^{g}/Λ où Λ est un réseau de ℂ^{g}.

5. Cela résulte de l’existence d’une immersion fermée X → ℙ^{n}.

6. Un lacet de X(ℂ) est une application continue S^{1} → X(ℂ). Deux lacets α et β sont homotopes s’ils existent une famille H_{t} de lacets de X(ℂ) paramétrés continument par t ∈ [0, 1] et tels que H_{0} = α, H_{1} = β.

Références

[Ser56] Jean-Pierre Serre. Géométrie algébrique et géométrie analytique. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 6 :1–42, 1955–1956.

premier semestre 2013

Frédéric Déglise, CNRS, UMPA (UMR 5669), E.N.S. Lyon, UMPA, 46, allée d’Italie, 69364 LYON Cedex 07 FRANCE, Tel. : +33 4 72 72 84 18 • E-mail : frederic.deglise@ens-lyon.fr

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