CNRS Rhône-Alpes
Frédéric Déglise
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Motifs et A1-homotopie

ENS Lyon
UMPA

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6/2022 Adrien Dubouloz, F. Déglise, Paul Arne Østvær Punctured tubular neighborhoods and stable homotopy at infinity
Ce travail propose une version motivique de plusieurs notions de géométrie différentielle: lien d'une singularité, voisinage tubulaire épointé, espace des fins. À l'aide du formalisme des six foncteurs, nous donnons une définition du voisinage tubulaire épointé et du type d'homotopie à l'infini qui rejoignent des considérations de Marc Levine pour le premier, Hughes-Ranicki et Jörg Wildeshaus pour le deuxième. Ces deux notions coïncident si l'on considère une situation compactifiée. Nous développons des méthodes de calcul de ces deux invariants, dont notamment une formule générale dans dans le cas d'une singularité à croisement normaux (ou plus généralement "h-lisse") et une interprétation en termes de classe fondamentale. Nous appliquons ces méthodes de calcul pour obtenir une version motivique homotopique du calcul de plomberie à la Mumford. Ce calcul s'exprime à l'aide d'une matrice d'intersection quadratique. Au passage, nous développons quelques méthodes nouvelles en théorie des 6 foncteurs, comme une notion de résolution cdh alternée qui nous permet de donner une version motivique homotopique du complexe de Rapoport-Zink, utilisé pour calculer les cycles évcanescents dans une situation semi-stable. Ces méthodes sont valables et appliquées dans divers contextes, comme par exemple celui des motifs d'Artin ou des motifs de Nori.
12/2021 David Coulette, F. Déglise, Jean Fasel, Jens Hornbostel Formal ternary laws and Buchstaber's 2-groups
Nous donnons une présentation unifiée de la théorie des 2-groupes de Buchstaber et des lois ternaires de Walter grâce à une notion de (n,d)-series formelles. Nous comparons les deux théories grâce à un foncteur canonique. Nous donnons aussi un programme pour le calcul des relations d'associativité des lois ternaires, accessible sur le répertoire public:
FTL_comp
Ce programme nous a permi de classifier les lois ternaires de petit degré. Quitte à inverser 2, il n'en existe à isomorphisme prêt qu'une seule, la loi ternaire de la cohomologie MW-motivique.
4/2021 Adrien Dubouloz, F. Déglise, Paul Arne Østvær Stable motivic homotopy theory at infinity
Cette prépublication a été intégrée et dépassée dans la prépublication "Punctured tubular neighborhoods and stable homotopy at infinity".
Inspirés par les travaux de Mumford, Whitehead, Ranicki (...), nous introduisons la notion de type d'homotopie stable à l'infini, dont la réalisation de Betti est le type d'homologie à l'infini introduit par Hughues-Ranicki et la réalisation motivique n'est autre que le motif bord de J. Wildeshaus. Nous introduisons plusieurs méthodes de calcul. D'une part des résultats de dualité, basé sur la notion nouvelle de h-lissité, et d'autre part un raffinement de la descente cdh, qui permet par ailleurs de retrouver la formule de Rappoport-Zink pour les cycles évanescents et la méthode de Deligne pour définir une structure de Hodge mixte sur la cohomologie de De Rham (via les complexes à pôles logarithmiques). Nous illustrons ces méthodes en donnant une version quadratique des calculs de Mumford, pour l'homotopie stable à l'infini des surfaces affines lisse, l'exemple des surfaces de Danielewski. Sur les corps d'indice de Kronecker inférieur à 1 (globaux ou finis), nous donnons un calcul complet du motif abélien mixtes d'Artin-Tate associé au type d'homotopie à l'infini des surfaces considérées par Mumford.
4/2020 Mattia Cavicchi, F. Déglise, Jan Nagel Motivic decompositions of families with Tate fibers: smooth and singular cases
Nous généralisons le problème posé par Corti et Hanamura visant à décomposer les motifs de Chow relatifs, au cas ddes motifs mixtes rationnels relatifs de poids 0. Nous obtenons de nouveau cas de telles décompositions dans le cas des familles de quadriques, lisses d'une part et plus généralement à singularités dites "régulières". Ce travail s'appuie d'une part sur la théorie des motifs d'Artin relatifs, et d'autres parts sur l'étude des complexes d'intersections motiviques due à Jörg Wildeshaus.
08/2014 F. Déglise On the homotopy heart of mixed motives
D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure qu'il appelle la t-structure homotopique perverse. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
C'est ce qu'on prouve dans cette prépublication, pour un schéma S de caractéristique 0, étant donné qu'il existe maintenant une bonne version de la categorie des motifs mixtes sur S.
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