CNRS Rhône-Alpes
Frédéric Déglise
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Géométrie algébrique et arithmétique

ENS Lyon
UMPA

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2/2019 F. Déglise, Jean Fasel The Borel character
Le caractère de Chern est l'instrument calculatoire qui peremt d'étendre le théorème de Riemann-Roch au-delà du cas des diviseurs. Dans l'interprétation topologique, il est défini par propriété universelle: c'est l'unique isomophisme entre les théories cohomologiques rationelles universelles respectivement avec loi de groupe formel multiplicative et additive. On étend la définition de cet isomorphisme au cas des théories "quadratiquement orientées" (Sp-orientées dans la terminologie de Panin-Walter), et on construit un isomorphisme entre K-théorie hermitienne et cohomologique motivique de Milnor-Witt (cf. preprint ci-dessous). La flèche ainsi constuite coincide avec celle donnée dans la prépublication "Borel isomorphism and absolute purity".
12/2018 F. Déglise, Jean Fasel, Fangzhou Jin, Adeel Khan Borel isomorphism and absolute purity
La propriété de "pureté absolue", introduite par Grothendieck dans le contexte étale, est fondamentale pour achever le formalisme des six opérations, lui aussi dû à Grothendieck! On démontre la propriété de pureté absolue pour le spectre représentant la K-théorie hermitienne, sur le modèle de la preuve obtenue avec Denis-Charles Cisinski pour la K-théorie de Quillen. Par ailleurs, en utilisant des propriétés de périodicité, on identifie le spectre de K-théorie rationelle avec certaines sommes des parties + et - du spectre des sphères rationnels, grêce à un isomorphisme qu'on appelle le caractère de Borel, par analogie avec la caractère de Chern. On en déduit la propriété de pureté absolue pour le spectre des sphères rationnels.
07/2018 F. Déglise, Jean Fasel Milnor-Witt motivic complexes
La calcul de Morel du groupe d'endomorphismes du spectre des sphères est fondamental en théorie de l'A1-homotopie. Plus précisément, le groupe des endomorphismes de S0 sur un corps k s'identifie avec le groupe de Grothendieck-Witt de k. Cela contraste avec le cas des complexes motiviques, pour lequel le groupe analogue s'identifie à l'anneau des entiers. Ce fait a naturellement amené la définition des groupe de Chow-Witt, généralisation du groupe de Chow où les cycles algébriques d'un schéma X sont remplacés par des sommes formelles de points de X à) coefficients quadratiques (c'est-à-dire des classes d'isomorphisme de formes quadratiques).
Dans ce travail, nous poussons l'analogie et introduisons l'analogue des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait en remplaçant les correspondances finies par des correspondances à coefficients quadratiques, nous appuyant sur un travail préparatoires de B. Calmès et Jean Fasel. Il est remarquable que tous les résultats de Voevodsky s'étendent à ce cas là. La théorie est alors plus proche de la théorie homotopique stable de Morel et Voevodsky, ou encore de la catégorie A1-dérivée de Morel.
07/2018 F. Déglise, Jean Fasel The Milnor-Witt motivic ring spectrum and its associated theories
Ce travail est une extension de la pré-publication précédente. Nous introduisons l'analogue du spectre d'Eilenberg-MacLane motivique en utilisant les complexes MW-motiviques, appelé spectre MW-motivique. Nous rappelons comment associer à un spectre en anneaux 4 théories: cohomologie, homologie de Borel-Moore, cohomologie à support compact, homologie. Ces théories satisfont un grand nombre de propriétés, analogues de leurs parents topologiques respectifs. Nous en déduisons ces 4 théories associées au spectre MW-motivique. En particulier, l'homologie de Borel-Moore correspondante est l'analogue quadratique des groupes de Chow supérieurs.
05/2018 F. Déglise, Fangzhou Jin, Adeel Khan Fundamental classes in motivic homotopy theory
Ce travail a pour but d'étendre les résultats de Bivariant theories in stable motivic homotopy au cas non orienté. Nous introduisons une variante twistée du formalisme bivariant de Fulton-MacPherson, avec pour théorie universelle l'A1-homotopie stable bivariante. Nous construisons alors une famille de classes fondamentales dans cette théorie associées aux morphismes quasi-projectifs et localement d'intersection complète. Cette construction généralise toutes les constructions précédentes, et permet d'obtenir des morphismes de Gysin pour toutes les théories cohomologiques invariantes par homotopie connues, ainsi que pour les théories homologiques associées. Les classes fondamentales ainsi construites vérifient toutes les propriétés attendues, et en particulier une formule d'excès d'intersection. Celle-ci fait notamment intervenir une nouvelle construction des classes d'Euler, définie même instablement, qui généralise la construction classique de Barge-Morel et Fasel. Nous illustrons notre théorie par plusieurs exemples: groupes de Chow-Witt et cohomologie motivique de Milnor-Witt, morphismes de spécialisation, formule motivique de Gauss-Bonnet.
08/2014 F. Déglise On the homotopy heart of mixed motives
D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure qu'il appelle la t-structure homotopique perverse. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
C'est ce qu'on prouve dans cette prépublication, pour un schéma S de caractéristique 0, étant donné qu'il existe maintenant une bonne version de la categorie des motifs mixtes sur S suite à un travail (en préparation) de D.C. Cisinski et moi-même.
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