CNRS Rhône-Alpes
Frédéric Déglise
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Motifs et A1-homotopie

ENS Lyon
UMPA

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4/2021 Adrien Dubouloz F. Déglise, Paul Arne Østvær Stable motivic homotopy theory at infinity
Inspirés par les travaux de Mumford, Whitehead, Ranicki (...), nous introduisons la notion de type d'homotopie stable à l'infini, dont la réalisation de Betti est le type d'homologie à l'infini introduit par Hughues-Ranicki et la réalisation motivique n'est autre que le motif bord de J. Wildeshaus. Nous introduisons plusieurs méthodes de calcul. D'une part des résultats de dualité, basé sur la notion nouvelle de h-lissité, et d'autre part un raffinement de la descente cdh, qui permet par ailleurs de retrouver la formule de Rappoport-Zink pour les cycles évanescents et la méthode de Deligne pour définir une structure de Hodge mixte sur la cohomologie de De Rham (via les complexes à pôles logarithmiques). Nous illustrons ces méthodes en donnant une version quadratique des calculs de Mumford, pour l'homotopie stable à l'infini des surfaces affines lisse, l'exemple des surfaces de Danielewski. Sur les corps d'indice de Kronecker inférieur à 1 (globaux ou finis), nous donnons un calcul complet du motif abélien mixtes d'Artin-Tate associé au type d'homotopie à l'infini des surfaces considérées par Mumford.
4/2020 Mattia Cavicchi F. Déglise, Jan Nagel Motivic decompositions of families with Tate fibers: smooth and singular cases
Nous généralisons le problème posé par Corti et Hanamura visant à décomposer les motifs de Chow relatifs, au cas ddes motifs mixtes rationnels relatifs de poids 0. Nous obtenons de nouveau cas de telles décompositions dans le cas des familles de quadriques, lisses d'une part et plus généralement à singularités dites "régulières". Ce travail s'appuie d'une part sur la théorie des motifs d'Artin relatifs, et d'autres parts sur l'étude des complexes d'intersections motiviques due à Jörg Wildeshaus.
4/2020 F. Déglise, Jean Fasel The Borel character (version 2)
Le caractère de Chern est l'instrument calculatoire qui permet d'étendre le théorème de Riemann-Roch au-delà du cas des diviseurs. Dans l'interprétation topologique, il est défini par propriété universelle: c'est l'unique isomophisme entre les théories cohomologiques rationelles universelles respectivement avec loi de groupe formel multiplicative et additive. On étend la définition de cet isomorphisme au cas des théories "quadratiquement orientées" (Sp-orientées dans la terminologie de Panin-Walter), et on construit un isomorphisme entre K-théorie hermitienne et cohomologique motivique de Milnor-Witt (cf. preprint ci-dessous). La flèche ainsi constuite coincide avec celle donnée dans la prépublication "Borel isomorphism and absolute purity".
4/2020 B. Calmès, F. Déglise, Jean Fasel Paul Arne Østvær, Tom Bachmann Milnor-Witt Motives
Le but de ce livre, très inspiré du classique "Cycles, transfers, and motivic homology theories" de Friedlander, Suslin et Voevodsky, est de définir une cohomologie motivique et plus généralement des complexes motiviques, tenant compte des phénomènes quadratiques propres à la catégorie homotopique stable. Nous parvenons à établir tous les théorèmes principaux attendus, et relions la théorie à la "filtration par la tranche très effective" (very effective slice filtration).
08/2014 F. Déglise On the homotopy heart of mixed motives
D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure qu'il appelle la t-structure homotopique perverse. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
C'est ce qu'on prouve dans cette prépublication, pour un schéma S de caractéristique 0, étant donné qu'il existe maintenant une bonne version de la categorie des motifs mixtes sur S.
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