Frédéric Déglise ___________ Géométrie algébrique et arithmétique
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Modules homotopiques avec transferts et motifs génériques.

Thèse de l'université Paris VII, décembre 2002

sous la direction de Fabien Morel.

    Résumé :

    Dans cette thèse, on relie une construction de M.Rost à une construction de V.Voevodsky qui est à la base de la catégorie dérivée des motifs mixtes. Plus précisément, on relie ainsi la théorie, plutôt arithmétique, des modules de cycles de M.Rost à la théorie plus géométrique des faisceaux avec transferts invariants par homotopie de V.Voevodsky. Nous montrons précisément que cette dernière catégorie est une localisation de la catégorie des modules de cycles.

    De plus, en s'inspirant de la construction des spectres de la topologie algébrique, on introduit la notion de module homotopique avec transferts à partir des faisceaux invariants par homotopie avec transferts. La catégorie formée par ces modules est équivalente à la catégorie des modules de cycles, prolongeant ainsi l'affirmation concernant les faisceaux homotopiques.

    Ceci nous permet de redémontrer à l'aide des résultats de M.Rost que les faisceaux invariants par homotopie avec transferts ont une cohomologie invariante par homotopie, résultat déjà obtenu par V.Voevodsky. Par ailleurs, on en déduit que la catégorie des modules de cycles est abélienne de Grothendieck, et munie d'une structure monoïdale telle que la K-théorie de Milnor est l'élément neutre.

    Par ailleurs, nous montrons comment les techniques employées se prolongent à la catégorie des motifs, obtenant ainsi des formules qui mettent en jeu les triangles de Gysin. On donne ainsi un lemme qui permet d'interpréter géométriquement la ramification au sens des anneaux de valuations discrètes d'égales caractéristiques.

    Le travail s'achève sur la définition de certains pro-motifs que nous avons baptisés motifs génériques. Ce sont des pro-objets de la catégorie dérivée des motifs mixtes, associés à des extensions de type fini du corps de base (supposé parfait). On considère aussi que ces motifs peuvent être "twistés" par le motif Z(1)[1] ou une de ses puissances par un entier relatif n quelconque. De manière surprenante, chacune des données des pré-modules de cycles a en fait son analogue en tant que morphisme de motifs génériques. Et par ailleurs, les relations structurales sur les données des pré-modules de cycles sont vraies dans la catégorie des motifs génériques, réalisant ainsi l'incarnation géométrique des axiomes plutôt arithmétiques des pré-modules de cycles.

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