Deglise GdT Borel

	Frédéric Déglise ___________ Géométrie algébrique et arithmétique
	_________

Homologie stable réelle des groupes arithmétiques d'après Borel

Groupe de travail
ENS de Lyon, 2020-2021
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Horaires (temporaire): lundi, 13h30-15h30
Lieu: ENS de Lyon, salle 435

Présentation: On se propose de comprendre le théorème principal de Borel, [Borel, Th. 11.1] qui permet de calculer la cohomologie réelle des groupes arithmétiques classique (SL_n, Sp_2n, SO_n, etc... à valeur dans un anneau d'entier de corps de nombres K) pour n suffisament grand. Le calcul consiste à se ramener à la cohomologie de l'algèbre de certaines formes différentielles sur les points réels du groupes, invariante sous l'action des K-points entiers. Un des outils principaux consiste à utiliser un théorème de Matsushima (cas compact) amélioré par Garland et Borel (cas non compact).

Programme du groupe de travail:

12/10	Introduction	Frédéric Déglise	Cohomologie réelle des groupes arithmétiques d'après Borel, et applications arithmétiques.
02/11	Théorie de Hodge sur les variétés riemaniennes non compactes	Riccardo Pengo	Rappels de géométrie Riemanienne (opérateur *, produit scalaire, opérateur de Laplace, formes harmoniques, intégration). Formule de Stokes, formes L2 et cohomologie L2. Ref.: Sections 1 et 2 de [Borel], [Warner] (aussi [Beshenov, 5.1], [Riou, III.5.2])	pdf
09/11	Théorie de Hodge sur les variétés riemaniennes non compactes	Riccardo Pengo	(suite)	pdf
16/11	Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima	François Brunault	Cohomologie des groupes discrets, lien avec la cohomologie du classifiant et fibration de Borel. Groupes de Lie réels, cohomologie d'un sous-groupe discret, interprétation en termes de formes différentielles invariantes et cohomologie relative des algèbres de Lie associées. Constante m(G), théorème de Matsushima et sa preuve. Ref.: Section 3 de [Borel] jusqu'à Th. 3.4, [Beshenov, Chap. 5], [Riou, III.4]	pdf
23/11	Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima	François Brunault	(suite)	pdf
30/11	Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima	Riccardo Pengo	(suite)	pdf
07/12	Théorème clé de Borel (version 1)	Vincent Pilloni	Extension au cas non compact (mais complet) du théorème de Matsushima. Version de Garland ([Borel, Th. 3.5]). Version de Borel="Théorème clé de Borel" ([Borel, Prop. 3.6], voir aussi [Riou, III.Th. 72]). Ref.: Section 3 de [Borel], [Riou, III.5.3].	pdf
14/12	Théorème clé de Borel (version 1)	Vincent Pilloni	(suite)	pdf
11/01	Compactifications à coins de Borel-Serre	Clément Dell'Aiera	Sections 4, 5 et 6 de [Borel]. Compactification à coins de Borel-Serre. Construction, Exemples (au moins SL2). Voisinages spéciaux, partitions de l'unité. Décomposition métrique du domaine fondamental (Section 4), domaines de Siegel (Section 5). Ref.: [Borel, Sect. 4, 5, 6], [Riou, III.6]	pdf
18/01	Compactifications à coins de Borel-Serre	Joaquin Rodrigues Jacinto	(suite)	pdf
25/01	Compactifications à coins de Borel-Serre	Joaquin Rodrigues Jacinto	(suite)	pdf
01/02	Théorème clé de Borel (version 2)	Olivier Taibi	But: remplir les conditions du "Théorème clé de Borel (version 1)" - ie [Borel, 3.6]. Constante c(G), Théorème 7.5 et 7.6, preuve. Liens avec Garland-Hsiang, Harder. Ref.: Section 7 de [Borel], [Riou, III.7].	pdf
08/02	Théorème clé de Borel (version 2)	Olivier Taibi	But: remplir les conditions du "Théorème clé de Borel (version 1)" - ie [Borel, 3.6]. Constante c(G), Théorème 7.5 et 7.6, preuve. Liens avec Garland-Hsiang, Harder. Ref.: Section 7 de [Borel], [Riou, III.7].	pdf
22/02	Calcul/minoration des constantes fondamentales c(G) et m(G)	George Boxer	Calculs et approximations de la constante de Borel c(G) et de celle de Matsushima m(G). Cas de SL_n, cas classiques, cas général. Ref.: Section 9 de [Borel].	pdf
01/03	Cohomologie des groupes classiques I	Filippo Nuccio	Calculs de la cohomologie singulière des groupes classiques (suite spectrale de Serre, préiodicité de Bott, classes charactéristiques). Exemples clés: SU_n et SU_n/SO_n. Théorème de Cartan-Serre sur l'homotopie et la cohomologie rationnelles des H-espaces. Ref.: Thèse de Serre [Serre], Section 10 de [Borel], [Fung], [Beshenov, 3.2, 3.3, 3.4].	pdf
08/03	Cohomologie des groupes classiques II	Filippo Nuccio	Suite de l'exposé.	pdf
15/03	Théorème clé de Borel (version finale) I	Gabriel Dospinescu	Bilan des calculs et résultats obtenus jusqu'à présent, application au théorème final de Borel sur l'homologie réelle des groupes arithmétique (Th. 11.1). Ref.: Section 11 de [Borel]	pdf
22/03	Théorème clé de Borel (version finale) II	Gabriel Dospinescu	Suite de l'exposé: énoncé final, cas classiques, application à la K-théorie de Quillen. Ref.: Sections 11 et 12 de [Borel]	pdf
29/03	K-théorie de Quillen, construction plus et finitude I	Sophie Morel	On rappellera la construction + de Quillen et on expliquera un théorème de finitude. Ref.: [Riou, II.1 et II.2].	pdf
12/04	K-théorie de Quillen, construction plus et finitude II	Sophie Morel	suite de l'exposé.	pdf
03/05	Opérations sur la K-théorie supérieure et cohomologie motivique rationnelle	Raphaël Ruimy	Structure de lambda-anneau sur la K-théorie supérieure, gamma-filtration et définition de la K-théorie motivique rationnelle suivant Beilinson et Soulé. Applications des calculs de Borel au calcul de la cohomologie motivique d'un corps de nombre. Ref.: [Soulé]
10/05	Opérations sur la K-théorie supérieure et cohomologie motivique rationnelle	Raphaël Ruimy	Structure de lambda-anneau sur la K-théorie supérieure, gamma-filtration et définition de la K-théorie motivique rationnelle suivant Beilinson et Soulé. Applications des calculs de Borel au calcul de la cohomologie motivique d'un corps de nombre. Ref.: [Soulé]
Date	Titre	Orateur	Description	Notes

Références:

Borel: A. Borel Stable real cohomology of arithmetic groups. Annales scientifiques de l’É.N.S., 4e série, tome 7, no 2 (1974), p. 235-272.
Matsushima: Y. Matsushima, On Betti numbers of compact, locally symmetric Riemannian manifolds. Osaka Math. J. vol. 14, 1962, p. 1-20.
Garland: H. Garland, A finiteness theorem for K2 of a number field. Annals of Math, vol 94, n° 2, 1971, p. 534-548.
Warner: Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
Fung: Jun Hou Fung The cohomology of Lie groups. University of Chicago, REU2012. pdf
Riou: F. Déglise, J. Riou, K-théorie algébrique des anneaux d'entiers de corps de nombres. Exposé Chevaleret (gdt "Motifs"), 2001. pdf
Beshenov: A. Beshenov, Algebraic K-theory of Number Fields. Mémoire ALGANT, 2014. pdf
Serre: J.P. Serre, Homologie Singulière Des \'Espaces Fibrés The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 54, No. 3. (Nov., 1951), pp. 425-505. pdf
Soulé: C. Soulé, Opérations en K-théorie algébrique Can. J. Math., Vol. XXXVII, No. 3, 1985, pp. 488-550 lien