CNRS Rhône-Alpes
Frédéric Déglise
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Géométrie algébrique et arithmétique

ENS Lyon
UMPA

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Homologie stable réelle des groupes arithmétiques d'après Borel

Groupe de travail
ENS de Lyon, 2020-2021
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Horaires (temporaire): lundi, 13h30-15h30
Lieu: ENS de Lyon, salle 435

Présentation: On se propose de comprendre le théorème principal de Borel, [Borel, Th. 11.1] qui permet de calculer la cohomologie réelle des groupes arithmétiques classique (SL_n, Sp_2n, SO_n, etc... à valeur dans un anneau d'entier de corps de nombres K) pour n suffisament grand. Le calcul consiste à se ramener à la cohomologie de l'algèbre de certaines formes différentielles sur les points réels du groupes, invariante sous l'action des K-points entiers. Un des outils principaux consiste à utiliser un théorème de Matsushima (cas compact) amélioré par Garland et Borel (cas non compact).

Programme du groupe de travail:

12/10 Introduction Frédéric Déglise Cohomologie réelle des groupes arithmétiques d'après Borel, et applications arithmétiques.
02/11 Théorie de Hodge sur les variétés Riemanienne non compactes. Riccardo Pengo Rappels de géométrie Riemanienne (opérateur *, produit scalaire, opérateur de Laplace, formes harmoniques, intégration). Formule de Stokes, formes L2 et cohomologie L2.
Ref.: Sections 1 et 2 de [Borel], [Warner] (aussi [Beshenov, 5.1], [Riou, III.5.2])
16/11-23/11 Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima (2 exposés) François Brunault & Riccardo Pengo Cohomologie des groupes discrets, lien avec la cohomologie du classifiant et fibration de Borel. Groupes de Lie réels, cohomologie d'un sous-groupe discret, interprétation en termes de formes différentielles invariantes et cohomologie relative des algèbres de Lie associées. Constante m(G), théorème de Matsushima et sa preuve.
Ref.: Section 3 de [Borel] jusqu'à Th. 3.6, [Beshenov, Chap. 5], [Riou, III.4]
30/11 Théorème clé de Borel (version 1) Vincent Pilloni Extension au cas non compact (mais complet) du théorème de Matsushita. Version de Garland ([Borel, Th. 3.5]). Version de Borel="Théorème clé de Borel" ([Borel, Prop. 3.6], voir aussi [Riou, III.Th. 72]).
Ref.: Section 3 de [Borel], [Riou, III.5.3].
07/12-14/12 Compactification à coins de Borel-Serre (2 exposés) Clément Dell'Aiera & Joaquin Rodrigues Jacinto Sections 4, 5 et 6 de [Borel]. Compactification à coins de Borel-Serre. Construction, Exemples (au moins SL2). Voisinages spéciaux, partitions de l'unité. Décomposition métrique du domaine fondamental (Section 4), domaines de Siegel (Section 5).
Ref.: [Borel, Sect. 4, 5, 6], [Riou, III.6]
04/01 Théorème clé de Borel (version 2) Olivier Taibi But: remplir les conditions du "Théorème clé de Borel (version 1)" - ie [Borel, 3.6]. Constante c(G), Théorème 7.5 et 7.6, preuve. Liens avec Garland-Hsiang, Harder. Ref.: Section 7 de [Borel], [Riou, III.7].
11/01 Calcul/minoration des constantes fondamentales c(G) et m(G) George Boxer Calculs et approximations de la constante de Borel c(G) et de celle de Matsushima m(G). Cas de SL_n, cas classiques, cas général.
Ref.: Section 9 de [Borel].
18/01 Cohomologie des groupes classiques Filippo Nuccio Calculs de la cohomologie singulière des groupes classiques (suite spectrale de Serre, préiodicité de Bott, classes charactéristiques). Exemples clés: SU_n et SU_n/SO_n. Théorème de Cartan-Serre sur l'homotopie et la cohomologie rationnelles des H-espaces.
Ref.: Section 10 de [Borel], [Fung], [Beshenov, 3.2, 3.3, 3.4].
25/01 Théorème clé de Borel (version finale) Gabriel Dospinescu Enoncé et preuve du théorème final (Th. 11.1). Liste d'exemples.
Ref.: Section 11 de [Borel]
01/02 Applications à la K-théorie et à la L-théorie Sophie Morel Rappels construction + de Quillen. Application du théorème principal.
Ref.: [Riou, II.1], Section 12 de [Borel].
08/02 K-théorie des fibrés vectoriels et filtration d'Adams Raphaël Ruimy On étudiera la définition de la K-théorie basée sur la structure de catégorie exacte des fibrés vectoriels sur un schéma et l'extension des résultats de SGA6 au groupes de K-théorie supérieurs, en particulier la filtration d'Adams.
Date Titre Orateur Description Notes

Références:

Borel
A. Borel Stable real cohomology of arithmetic groups. Annales scientifiques de l’É.N.S., 4e série, tome 7, no 2 (1974), p. 235-272.
Matsushima
Y. Matsushima, On Betti numbers of compact, locally symmetric Riemannian manifolds. Osaka Math. J. vol. 14, 1962, p. 1-20.
Garland
H. Garland, A finiteness theorem for K2 of a number field. Annals of Math, vol 94, n° 2, 1971, p. 534-548.
Warner
Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
Fung
Jun Hou Fung The cohomology of Lie groups. University of Chicago, REU2012. pdf
Riou
F. Déglise, J. Riou, K-théorie algébrique des anneaux d'entiers de corps de nombres. Exposé Chevaleret (gdt "Motifs"), 2001. pdf
Beshenov
A. Beshenov, Algebraic K-theory of Number Fields. Mémoire ALGANT, 2014. pdf