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Homologie stable réelle des groupes arithmétiques d'après Borel |
Groupe de travail
ENS de Lyon, 2020-2021
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Horaires (temporaire): lundi, 13h30-15h30
Lieu: ENS de Lyon, salle 435
Présentation: On se propose de comprendre le théorème principal de Borel, [Borel, Th. 11.1] qui permet de calculer la cohomologie réelle des groupes arithmétiques classique (SL_n, Sp_2n, SO_n, etc... à valeur dans un anneau d'entier de corps de nombres K) pour n suffisament grand. Le calcul consiste à se ramener à la cohomologie de l'algèbre de certaines formes différentielles sur les points réels du groupes, invariante sous l'action des K-points entiers. Un des outils principaux consiste à utiliser un théorème de Matsushima (cas compact) amélioré par Garland et Borel (cas non compact).
Programme du groupe de travail:
| 12/10 | Introduction | Frédéric Déglise | Cohomologie réelle des groupes arithmétiques d'après Borel, et applications arithmétiques. | |
| 02/11 | Théorie de Hodge sur les variétés riemaniennes non compactes | Riccardo Pengo |
Rappels de géométrie Riemanienne (opérateur *, produit scalaire, opérateur de Laplace, formes harmoniques, intégration).
Formule de Stokes, formes L2 et cohomologie L2. Ref.: Sections 1 et 2 de [Borel], [Warner] (aussi [Beshenov, 5.1], [Riou, III.5.2]) |
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| 09/11 | Théorie de Hodge sur les variétés riemaniennes non compactes | Riccardo Pengo | (suite) | |
| 16/11 | Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima | François Brunault |
Cohomologie des groupes discrets, lien avec la cohomologie du classifiant et fibration de Borel.
Groupes de Lie réels, cohomologie d'un sous-groupe discret, interprétation en termes de formes différentielles invariantes et cohomologie relative des algèbres de Lie associées.
Constante m(G), théorème de Matsushima et sa preuve. Ref.: Section 3 de [Borel] jusqu'à Th. 3.4, [Beshenov, Chap. 5], [Riou, III.4] |
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| 23/11 | Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima | François Brunault | (suite) | |
| 30/11 | Morphisme de comparaison de Borel et théorème de Matsushima | Riccardo Pengo | (suite) | |
| 07/12 | Théorème clé de Borel (version 1) | Vincent Pilloni |
Extension au cas non compact (mais complet) du théorème de Matsushima.
Version de Garland ([Borel, Th. 3.5]).
Version de Borel="Théorème clé de Borel"
([Borel, Prop. 3.6], voir aussi [Riou, III.Th. 72]). Ref.: Section 3 de [Borel], [Riou, III.5.3]. |
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| 14/12 | Théorème clé de Borel (version 1) | Vincent Pilloni | (suite) | |
| 11/01 | Compactifications à coins de Borel-Serre | Clément Dell'Aiera |
Sections 4, 5 et 6 de [Borel].
Compactification à coins de Borel-Serre.
Construction, Exemples (au moins SL2).
Voisinages spéciaux, partitions de l'unité.
Décomposition métrique du domaine fondamental (Section 4), domaines de Siegel (Section 5). Ref.: [Borel, Sect. 4, 5, 6], [Riou, III.6] |
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| 18/01 | Compactifications à coins de Borel-Serre | Joaquin Rodrigues Jacinto | (suite) | |
| 25/01 | Compactifications à coins de Borel-Serre | Joaquin Rodrigues Jacinto | (suite) | |
| 01/02 | Théorème clé de Borel (version 2) | Olivier Taibi |
But: remplir les conditions du "Théorème clé de Borel (version 1)" - ie [Borel, 3.6].
Constante c(G), Théorème 7.5 et 7.6, preuve. Liens avec Garland-Hsiang, Harder.
Ref.: Section 7 de [Borel], [Riou, III.7]. |
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| 08/02 | Théorème clé de Borel (version 2) | Olivier Taibi |
But: remplir les conditions du "Théorème clé de Borel (version 1)" - ie [Borel, 3.6].
Constante c(G), Théorème 7.5 et 7.6, preuve. Liens avec Garland-Hsiang, Harder.
Ref.: Section 7 de [Borel], [Riou, III.7]. |
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| 22/02 | Calcul/minoration des constantes fondamentales c(G) et m(G) | George Boxer |
Calculs et approximations de la constante de Borel c(G) et de celle de Matsushima m(G).
Cas de SL_n, cas classiques, cas général. Ref.: Section 9 de [Borel]. |
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| 01/03 | Cohomologie des groupes classiques I | Filippo Nuccio |
Calculs de la cohomologie singulière des groupes classiques (suite spectrale de Serre, préiodicité de Bott, classes charactéristiques).
Exemples clés: SU_n et SU_n/SO_n.
Théorème de Cartan-Serre sur l'homotopie et la cohomologie rationnelles des H-espaces. Ref.: Thèse de Serre [Serre], Section 10 de [Borel], [Fung], [Beshenov, 3.2, 3.3, 3.4]. |
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| 08/03 | Cohomologie des groupes classiques II | Filippo Nuccio | Suite de l'exposé. | |
| 15/03 | Théorème clé de Borel (version finale) I | Gabriel Dospinescu | Bilan des calculs et résultats obtenus jusqu'à présent, application au théorème final de Borel sur l'homologie réelle des groupes arithmétique (Th. 11.1). Ref.: Section 11 de [Borel] | |
| 22/03 | Théorème clé de Borel (version finale) II | Gabriel Dospinescu | Suite de l'exposé: énoncé final, cas classiques, application à la K-théorie de Quillen. Ref.: Sections 11 et 12 de [Borel] | |
| 29/03 | K-théorie de Quillen, construction plus et finitude I | Sophie Morel |
On rappellera la construction + de Quillen et on expliquera un théorème de finitude. Ref.: [Riou, II.1 et II.2]. |
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| 12/04 | K-théorie de Quillen, construction plus et finitude II | Sophie Morel | suite de l'exposé. | |
| 03/05 | Opérations sur la K-théorie supérieure et cohomologie motivique rationnelle | Raphaël Ruimy |
Structure de lambda-anneau sur la K-théorie supérieure, gamma-filtration et
définition de la K-théorie motivique rationnelle suivant Beilinson et Soulé.
Applications des calculs de Borel au calcul de la cohomologie motivique d'un corps de nombre. Ref.: [Soulé] |
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| 10/05 | Opérations sur la K-théorie supérieure et cohomologie motivique rationnelle | Raphaël Ruimy |
Structure de lambda-anneau sur la K-théorie supérieure, gamma-filtration et
définition de la K-théorie motivique rationnelle suivant Beilinson et Soulé.
Applications des calculs de Borel au calcul de la cohomologie motivique d'un corps de nombre. Ref.: [Soulé] |
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| Date | Titre | Orateur | Description | Notes |
Références:
- Borel
- A. Borel Stable real cohomology of arithmetic groups. Annales scientifiques de l’É.N.S., 4e série, tome 7, no 2 (1974), p. 235-272.
- Matsushima
- Y. Matsushima, On Betti numbers of compact, locally symmetric Riemannian manifolds. Osaka Math. J. vol. 14, 1962, p. 1-20.
- Garland
- H. Garland, A finiteness theorem for K2 of a number field. Annals of Math, vol 94, n° 2, 1971, p. 534-548.
- Warner
- Warner, Frank W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
- Fung
- Jun Hou Fung The cohomology of Lie groups. University of Chicago, REU2012. pdf
- Riou
- F. Déglise, J. Riou, K-théorie algébrique des anneaux d'entiers de corps de nombres. Exposé Chevaleret (gdt "Motifs"), 2001. pdf
- Beshenov
- A. Beshenov, Algebraic K-theory of Number Fields. Mémoire ALGANT, 2014. pdf
- Serre
-
J.P. Serre,
Homologie Singulière Des \'Espaces Fibrés
The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 54, No. 3. (Nov., 1951), pp. 425-505.
pdf
- Soulé
-
C. Soulé,
Opérations en K-théorie algébrique
Can. J. Math., Vol. XXXVII, No. 3, 1985, pp. 488-550
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