Frédéric Déglise ___________ Géométrie algébrique et arithmétique
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par D.C. Cisinski et F. Déglise
 
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nouvelle version,
décembre 2012

Version finale de cette prépublication, destinée à paraître en tant que livre. Pour faciliter le travail des auteurs qui se sont appuyés sur la version précédente de cet article, nous avons créé une table de correspondance entre la version actuelle (arXiv:0912.2110v3) et la version de 2009 (arXiv:0912.2110v2):

• table de correspondances

De nombreux changements ont eu lieu de par rapport à la version de 2009. Voici les principaux:

• Introduction et annexes:
  • ajout d'un index terminologique, d'un index des notations et d'un index des propriétés des catégories fibrées introduites au long du texte;
  • nouvelle introduction contenant une mise en perspective historique vis à vis des conjectures et travaux précédents cet article, d'une description synthétique des constructions obtenues (motifs de Voevodsky, motifs de Beilinson), et d'une description détaillée de l'organisation du livre;
• Première partie:
  • La théorie de l'orientation est traitée de manière axiomatique dans les catégories prémotiviques. Cela nous permet, dans le cas orienté, de donner une nouvelle démonstration du théorème d'Ayoub sur l'existence du couple de fonteurs (f_!,f^!) ainsi que d'obtenir la forme classique du théorème de pureté relative.
  En rapport avec le point précédent, une nouvelle propriété des catégories prémotiviques, correspondant à la pureté relative est introduite et étudiée. On montre que sous de bonnes hypothèse, cette propriété est équivalente à la dualité pour les motifs associés aux morphismes projectifs lisses.
  • les théorèmes de finitude et de dualité pour les motifs constructibles appraissent dans la première partie, de manière axiomatique.
• Troisième partie:
  • Certaines conventions impropres concernant les cycles relatifs ont été corrigées. La preuve du calcul de la cohomologie motivique effective des schémas réguliers, en poids 1, a été corrigée.
  • Deux nouveaux résultats sont prouvés pour les motifs de Voevodsky: le théorème de changement de base et de pureté relative pour les morphismes projectifs lisses et la compatibilité avec les limites projectives de schémas.
• Quatrième partie:
  • La partie 4 a été réorganisée en tenant compte des changements de la partie 1. Le résultat de compatibilité des réalisations avec les 6 opérations a été corrigé (section finale).

ancienne version,
décembre 2009

    Dans ce travail, on étend la théorie des complexes motiviques de Voevodsky au cas d'une base noethérienne.

    A coefficients rationnels, on introduit une nouvelle définition, directement reliée à la K-théorie et appelées pour cette raison la catégorie des motifs de Beilinson, et on montre que ces motifs vérifient le formalisme des 6 foncteurs de Grothendieck, y comprit les théorèmes de pureté absolu et de constructibilité.

On construit des équivalences entre la catégorie des motifs de Beilinson et plusieurs autres candidats:

• la version rationelle des complexes motiviques dans le cas d'une base géométriquement unibranche
• la construction + de Morel
• la version étale de la catégorie homotopique stable rationnelle

On construit de plus un foncteur pleinement fidèle de la catégorie des motifs de Beilinson dans la catégorie des h-motifs rationnels de Voevodsky (construite avec la h-topologie).

    La cohomologie motivique que l'on obtient s'identifie canoniquement dans le cas régulier avec les gradués de la K-théorie de Quillen rationelle pour la filtration topologique ; en particulier, en bidegré (2n,n), c'est donc le groupe de Chow rationnel des cycles n-codimensionnels. On obtient au passage la démonstration de la version suivante d'une conjecture de Voevodsky: le spectre d'Eilenberg-Mac Lane motivique rationnel est stable par changement de base suivant un morphisme entre schémas géométriquement unibranches.

    Le point clé dans notre théorie est d'exploiter la théorie de la descente: la catégorie des motifs de Beilinson vérifie la descente pour la h-topologie (dont les recouvrements sont les morphismes universellements submersifs de SGA1, IX, 2.1 ; cette topologie est plus forte que la topologie propre et la topologie fppf). On étend cette théorie au cas des modules sur le spectre représentant une théorie de Weil mixte (cf la prépublication Mixed Weil cohomologies), montrant ainsi qu'une théorie de Weil mixte admet une unique extension qui satisfait la descente propre. De plus, cette extension satisfait la descente pour la h-topologie - c'est le cas notamment pour la cohomologie rigide, qui n'était pas connu.

Remarque: Un groupe de travail a été organisé par par B. Drew et S. Kelly à l'université Paris 13 sur cette prépublication:

• Descente cohomologique, localisation, et constructibilité dans les catégories motiviques