Cours de Master 2ème année,
Deuxième semestre 2015/2016
ENS Lyon et Université Lyon 1
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Homotopie stable |
| 21/01/2016 | Catégorie homotopique et groupes fondamentaux | Introduction historique: de la formule d'Euler à l'analysis situs de Poincaré. Constructions de base de la topologie: smash-produit, bouquet; espaces de fonctions, des chemins, des lacets, des suspensions. La relation d'homotopie, la catégorie homotopique. Groupes fondamentaux. | |
| 01/02/2016 | H-groupes et fibrations | Notions d'objet en groupes/co-groupes; H-groupes et co-H-groupes. Abélianité des groupes d'homotopie d'ordre supérieur. Fibrations et fibrations de Serre, relations entre les fibres et action du groupe fondamental de la base. Fibrations des chemins, résolution d'un morphisme par une fibration. Suites homotopiquement exactes. | |
| 08/02/2016 | Fibrations, excision et suspension | Suite exacte longue d'homotopie, exemples de fibration, fibration de Hopf. Quelques résultats sur l'homotopie des CW-complexes: approximation linéaire, théorème d'excision. Conséquences sur l'homotopie des sphères. Théorème des suspensions de Freudenthal, et groupes d'homotopie stable. | |
| 15/02/2016 | Spectres de Spanier-Whitehead | Rappels sur l'homologie singulière: Axiomes d'Eilenberg-Steenrod, axiomes des supensions. CW-complexe finies, catégorie stabilisée et propriété universelle. Cofibrations et suites homotiquement coexactes. Structures catégories: additive, monoïdale, triangulées. | |
| 29/02/2016 | Espaces et spectre d'Eilenberg-Mac Lane | Compléments sur les cofibrations, et théorème de Whitehead (équivalences d'homotopie faibles et fortes). Construction des espaces d'Eilenberg-Mac Lane et unicité. Spectre associé. | |
| 07/03/2016 | Suites spectrales et thèse de Serre | Couples exacts et suites spectrales. Questions de dégénérescence et de convergence. Suite spectrale d'Atiyah-Hirzebuch. Suite spectrale de Serre et groupes d'homotopie des sphères par la méthode des classes de Serre. | |
| 14/03/2016 | Catégorie homotopique stable | Localization des catégories, construction de Gabriel-Zisman, catégories de modèles. Spectres et catégorie homotopique stable, structure monoïdale symétrique et triangulée. Théorie cohomologique associée à un spectre, théorème de représentabilité de Brown. Spectre en anneaux, cup-produits, cap-produits. | |
| 21/03/2016 | Spectres orientés | Fibrés vectoriels, torseurs, espaces classifiants. K-théorie complexe, K-théorie réelle, périodicité de Bott et spectre associé. Théorie de l'orientation, théorème du fibré projectif, classes de Chern. Lois de groupe formel, cobordisme. | |
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