CNRS Rhône-Alpes
Frédéric Déglise
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Géométrie algébrique et arithmétique

ENS Lyon
UMPA

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L'hypothèse de Riemann sur les corps finis d'après Deligne

Groupe de travail
Université Paris 13, octobre 2010 - mars 2011
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Présentation : Le but du groupe de travail est de lire les articles de Deligne [WeilI] et [WeilII]. Ces deux articles sont l'aboutissement du programme de Grothendieck sur la cohomologie étale mais aussi le point de départ pour de nombreux travaux dans la cohomologie des variétés. L'article [WeilI] achève l'application de la cohomologie étale aux conjectures de Weil, en démontrant la seule partie de la conjecture de Weil qui était encore ouverte après les travaux de Grothendieck, l'analogue de l'hypothèse de Riemann. L'article [WeilII] améliore le résultat obtenu dans [WeilI], en élaborant une théorie des poids pour les faisceaux l-adiques. Une autre application majeure de cet article est la démonstration du théorème de Lefschetz dit "difficile" en cohomologie étale. Cette preuve achève donc le travail qui avait été entrepris dans [SGA7] afin d'utiliser les méthodes de Lefschetz en cohomologie étale. Naturellement, le groupe de travail occupera une partie de son temps à comprendre les résultats de [SGA7], la théorie des cycles évanescents.

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Introduction I (pdf)

F. Déglise Dans cette introduction, on présente le point auquel était parvenu Grothendieck avec son interprétation cohomologique des fonctions zêta. Celle-ci, bien que prévue par Weil, représente le point d'orgue du travail de Grothendieck en géométrie algébrique. Point d'orgue non pas tant pour son importance que parce qu'il réalise l'ambition initiale de Grothendieck de définir une bonne théorie cohomologique pour les variétés sur un corps fini.
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Introduction II (pdf)

F. Déglise

Cette deuxième partie montre comment Grothendieck exploite sa théorie des faisceaux étales - et surtout leur variante l-adique - pour étendre le formalisme des fonctions L. Ces fonctions, introduites par E. Artin, généralisaient déjà le cas des fonctions L. La méthode cohomologique de Grothendieck, qui fait apparaître lesdits faisceaux comme la généralisation naturelle des systèmes locaux, s'étend dans cette généralité. C'est le point de départ de la théorie des poids sur les faisceaux l-adiques qui sera développée par Deligne.

18/11 Faisceaux l-adiques, poids B. Drew On exposera la notion de faisceau l-adique utilisée par Deligne suivant [WeilII, (1.1)], et la notion de poids qui s'y rattache [WeilII, (1.2)].
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Formules des traces (pdf)

A. Javanpeykar

On expose la démonstration de la formule des traces pour les faisceaux l-adiques suivant la méthode de Nielsen-Wecken. Référence [Rapport]

02/12 Le formalisme des cycles évanescents (pdf) D. Hébert On introduira le formalisme des cycles évanescents d'après l'exposé de Deligne [SGA7, XIII] (voir aussi [SGA7, I]).
09/12 Formule de Picard-Lefschetz I R. Casalis Quadriques, cônes quadratiques et leur cohomologie. Calcul des cycles évanescents dans le cas d'un cône quadratique.
06/01 Le formalisme des cycles évanescents (cas transcendant) D. Hébert Cet exposé s'appuie sur [SGA7, XIV]. On introduira le formalisme des cycles évanescents dans le cadre topologique (cf §1), on démontrera le théorème de comparaison 2.8. On fera l'étude des singularités isolées de la section 3.1.
13/01 Formule de Picard-Lefschetz II R. Casalis

Preuve de la formule de Picard Lefschetz (cf [SGA7, XIV, 3.2], [SGA7, XV], [Illusie]).

20/01 Pinceaux de Lefschetz I J. Fresan On définira les "pinceaux de Lefschetz" et on montrera comment les construire suivant [SGA7, XVII].
10/02

La majoration fondamentale (dvi)

S. Kelly Dans cet exposé, on démontrera la "majoration fondamentale" qui sert de point de départ à Deligne dans sa première preuve de l'hypothèse de Riemann. Référence [WeilI, section 3]
03/03 Pinceaux de Lefschetz II J. Fresan On fera l'étude de la cohomologie des pinceaux de Lefschetz [SGA7, XVIII].
10/03 Preuve de l'hypothèse de Riemann I G. Ancona On exposera la preuve de l'hypothèse de Riemann en s'appuyant sur les résultats des exposés précédents. Référence: [WeilI, sections 6 et 7]
17/03 Preuve de l'hypothèse de Riemann II G. Ancona Fin de la preuve
24/03 Groupe fondamental et groupe fondamental modéré J. Scholbach Théorie du groupe fondamental d'après Grothendieck, et sa version modérée d'aprés Grothendieck-Murre. On exposera les résultats récents de Schmidt [Schmidt] et de Tamagawa [Tam].
Date Titre Orateur Description
WeilI
Deligne, P. La conjecture de Weil IInst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 43 (1974), 273--307.
 
WeilII
Deligne, P. La conjecture de Weil II. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 52 (1980), 137--252.
Illusie
Illusie, L. On semistable reduction and the calculation of nearby cycles. Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, 785--803, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin (2004).
 
Rapport
Deligne, P. Rapport sur la formule des traces. In Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2.
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. iv+312pp.

Schmidt
        Schmidt, Alexander. Tame coverings of arithmetic schemes. Math. Ann. 322 (2002), no. 1, 1–18.

Tamagawa
        Tamagawa, Akio. On the tame fundamental groups of curves over algebraically closed fields of characteristic $>0$.
        Galois groups and fundamental groups, 47–105, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 41, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.