Frédéric Déglise

Hauteurs et formule de Gross-Zagier

Groupe de travail ReMoLD
2025-26
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Horaires: le mardi, à 10h15
Lieu: Salle 435, M7-411, visio sur Zoom

Présentation: La formule du nombre de classes, due à Gauss (cas quadratique) et Dirichlet, a été un des moteurs principaux de la théorie géométrique des nombres/géométrie arithmétique jusqu’à nos jours. Parmi les étapes marquantes, on peut noter la conjecture BSD en 1963 et les conjectures Bloch-Beilinson dans les années 80 dont l'article de Beilinson en 1984 est la pierre angulaire. Dans ce paysage, la formule de Gross-Zagier publiée en 1984 fait figure à la fois de précurseur et de justification pour les conjectures actuelles sur les valeurs spéciales de fonctions L. En particulier, elle constitue l’un des deux cas majeurs établis au XXème siècle qui justifie la généralisation conjecturale de la formule du nombre de classes de Dirichlet au-delà du cas des corps de nombres. Elle mène aussi aux premiers cas au-delà du cas CM où la conjecture BSD est connue, grâce à l’apport de Kolyvagin (1990). Le groupe de travail se concentrera sur la lecture de l’article de Gross-Zagier, en particulier la preuve de leur théorème principal, avec de possibles extensions vers la théorie d’Arakelov.

Programme du groupe de travail:

04/11	Présentation	Olivier Taïbi	Présentation générale et distribution des exposés.
18/11	Courbe modulaire et points de Heegner	tba	Définition courbe modulaire X₀(N), cusps, relations avec les formes modulaires. (Espace de modules et modèle rationnel.) Involutions d'Atkin-Lehner, opérateurs de Hecke. Points de Hegner. Rationalité sur le corps de classes H associé. Action galoisienne G=Gal(H/K). Diviseurs associés et action de l'algèbre T[G_K]. Ref: Gross-Zagier , §§1-2, Silverman, Ch. II, Darmon, Ch. 1-2.
25/11	Hauteurs de Weil	tba	Couvrir Serre, §2. (sauf 2.12 si manque de temps) (Hauteurs, propriétés et Théorème de Northcott, fibrés en droites et positivités.)
02/12	Hauteurs de Néron-Tate.	tba	Couvrir Serre, §3. (sauf 3.6, 3.9, 3.10, 3.11) Hauteurs de Weil sur les variétés abéliennes (quadraticité), hauteurs de Néron-Tate. Propiétés fondamentales (positivité et détection torsion, accouplement de hauteur et positivité) .
09/12	Hauteurs locales et formule de Néron.	tba	Couvrir Serre, §6. (sauf 3.6, 3.9, 3.10, 3.11) Définition des hauteurs locales et relation avec les hauteurs "globales".
16/12	Hauteurs locales sur la courbe modulaire	tba	Sections II.1 et II.2 de Gross-Zagier.
06/01	Calcul de hauteurs locales I	tba	Sections II.3 et II.4 de Gross-Zagier.
13/01	Calcul de hauteurs locales II (cas support non disjoints)	tba	Calculs de hauteurs dans le cas de supports non disjoints et Section II.5 de Gross-Zagier.
20/01	Calculs de hauteurs non archimédiennes I	tba	Le but de cette série de trois exposés est de calculer les hauteurs locales apparaissant dans la formule de Gross-Zagier, section III de de Gross-Zagier. Préliminaires: modèle entier de X₀(N), théorème de Serre-Tate, relèvements canoniques Gross.
27/01	Calculs de hauteurs non archimédiennes II	tba	Sections III.2-5 de Gross-Zagier.
27/01	Calculs de hauteurs non archimédiennes III	tba	Sections III.6-9 de Gross-Zagier.
27/01	Fonctions L et méthode de Rankin	tba	Préliminaires: méthode de Rankin, calculs de trace et transformée de Fourier Sections IV.1-3 de Gross-Zagier.
03/02	Equation fonctionnelle et valeurs spéciales	tba	Calculs explicites de série L et de sa dérivée I: Sections IV.4-5 de Gross-Zagier.
10/02	Valeurs spéciales dans le cas critique.	tba	Calculs explicites la série dérivée dans le cas critique: Sections IV.6 de Gross-Zagier.
17/02	Preuve finale et applications	tba	On fera un bilan des calculs obtenus dans les exposés précédents pour en déduire la preuve de la formule de Gross-Zagier. On exposera les applications principales. Sections V de Gross-Zagier.
Date	Titre	Orateur	Description	Notes

Références:

Gauss: Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Fleischer, 1801.
Dirichlet: Dirichlet, Johann Peter. Beweis des Satzes, daß jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1837–1839).
Birch–Swinnerton-Dyer: Birch, Bryan J. and Swinnerton-Dyer, Peter. Notes on elliptic curves. I–II. J. Reine Angew. Math. 212 (1963), 7–25; 218 (1965), 79–108.
Bloch: Bloch, Spencer. Higher regulators, algebraic K-theory, and zeta functions of elliptic curves. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296 (1983), 545–548; voir aussi Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. (4) 14 (1981), 171–202.
Beilinson (HLF): Beilinson, Alexander A. Higher regulators and values of L-functions. J. Soviet Math. 30 (1985), 2036–2070.
Beilinson (Heights): Beilinson, Alexander A. Height pairings between algebraic cycles. In Arithmetic Geometry (Storrs, 1984), Contemporary Mathematics 67, AMS, 1987, 1–25.
Gross–Zagier: Gross, Benedict H. and Zagier, Don B. Heegner points and derivatives of L-series. Invent. Math. 84 (1986), 225–320.
Serre: Serre, Jean-Pierre. Lectures on the Mordell-Weil Theorem. Translated and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt. 3rd edition. Springer Fachmedien Wiesbaden (Vieweg+Teubner), Aspects of Mathematics, vol. 15, 2013.
Gross: Gross, Benedict H. On canonical and quasi-canonical liftings. Inventiones Mathematicae 84 (1986), 321–326.
Kolyvagin: Kolyvagin, Victor A. Finiteness of E(ℚ) and Ш(E,ℚ) for a subclass of Weil curves. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 52 (1988), 522–540; English transl. in Math. USSR Izv. 32 (1989), 523–541.
Gillet–Soulé: Gillet, Henri and Soulé, Christophe. Arithmetic intersection theory. Publ. Math. IHÉS 72 (1990), 93–174.
Bost–Gillet–Soulé: Bost, Jean-Benoît; Gillet, Henri; and Soulé, Christophe. Heights of projective varieties and positive Green forms. J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), 903–1027.
Yuan-Zhang-Zhang: Yuan, Xinyi ; Zhang, Shou-Wu ; Zhang, Wei. The Gross–Zagier Formula on Shimura Curves. Annals of Mathematics Studies, no. 184. Princeton University Press, 2012. Exposé moderne et complet de la formule de Gross–Zagier.