Frédéric Déglise

Nous introduisons une théorie générale des modules de cycles homologiques de Milnor-Witt sur un schéma de base excellent muni d'une fonction de dimension, étendant à la fois les modules de cycles de Rost et la théorie de Feld sur les corps. À un tel module, nous associons un complexe de Rost-Schmid dont l'homologie définit une théorie de l'intersection à coefficients quadratiques, satisfaisant invariance par homotopie, localisation. Elle admet une fonctorialité de type Borel-Moore: pushouts propres, morphismes de Gysin lisses au niveau des cycles, et lci lissifiable au niveau de l'homologie. À l'aide de données de dualité induite par une structure d'épinglage, nous définissons les modules cohomologiques de Milnor-Witt et établissons une dualité entre les théories homologique et cohomologique. Comme applications, nous étendons les groupes de Chow-Witt aux schémas sur des bases générales (éventuellement singulières ou arithmétiques), démontrons des formules de Bloch généralisées induisant des résultats de représentabilité, et calculons les groupes de Chow-Witt gradués des schémas de Dedekind de type fini sur les entiers. En particulier, nous obtenons des résultats de finitude pour les groupes de Chow-Witt et les invariants de Milnor-Witt associés en dimension au plus un.

Le but de ce travail est d'étendre la théorie des filtrations, et des suites spectrales qui leur sont associées, au cadre des ∞-catégories non nécessairement stables, sur le modèle d'une part de la topologie algébrique classique, et notamment du travail fondamental de Bousfield et Kan, et d'autre part sur le travail de Jacob Lurie dans le cas stable.
D'une part, nous introduisons un cadre pour cette étude, basée sur la notion de suite fibre/cofibre en dégageant leurs propriétés qui offrent une parfaite analogie avec les catégories triangulées, avec quelques spécificités comme leur interaction et surtout l'action de la monodromie qui est sous-jacente. Le résultat principal est un théorème de dégénérescence général inspiré de la conjecture de Gersten.
Nous appliquons cette théorie pour étendre la notion de faisceau de Cohen-Macaulay et de résolution de Cousin dans un cadre instable, raffinons légèrement l'étude des faisceaux d'A1-homotopie due à Morel, et établissons une résolution de Gersten pour les types d'homotopie étales d'Artin-Mazur.

La théorie de l'orientation en homotopie motivique stable a été étendue par Ivan Panin et Charles Walter. Nous avons étudié cette théorie en collaboration avec Jean Fasel en introduisant la notion de loi formelle ternaire, ainsi que le caractère de Borel qui est un analogue quadratique du caractère de Chern.
Dans cette prépublication, nous démontrons une formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les classes fondamentales virtuelles orientées (en un sens défini dans ce travail), qui à son tour entraîne plusieurs variantes de la formule de Riemann-Roch, dont la version habituelle pour le morphisme de Gysin en cohomologie associée à un morphisme projectif lci. Un calcul explicite est donné pour les surfaces K3.

Cette prépublication pour le moment inachevée a pour but de terminer le programme visant à comprendre la t-structure homotopique perverse définie par J. Ayoub, et généralisée par M. Bondarko et le premier auteur, la suite spectrale de Leray qui lui est associée. Le point capital est le calcul du cœur de cette t-structure en termes de complexes de Cousin, notion héritée de Grothendieck — lui-même inspiré de Cartan, Zariski et Samuel. Avec des hypothèses plus fortes, on montre que ce cœur est équivalent à une généralisation des modules de cycles de Rost, ceci pour la catégorie A1-dérive stable. [A l'heure actuelle, il reste à montrer que l'un des deux morphismes d'adjonction est bien un isomorphisme.]

Ce travail propose une version motivique de plusieurs notions de géométrie différentielle: lien d'une singularité, voisinage tubulaire épointé, espace des fins. À l'aide du formalisme des six foncteurs, nous donnons une définition du voisinage tubulaire épointé et du type d'homotopie à l'infini qui rejoignent des considérations de Marc Levine pour le premier, Hughes-Ranicki et Jörg Wildeshaus pour le deuxième. Ces deux notions coïncident si l'on considère une situation compactifiée.
Nous développons des méthodes de calcul de ces deux invariants, dont notamment une formule générale dans le cas d'une singularité à croisement normaux (ou plus généralement "h-lisse") et une interprétation en termes de classe fondamentale. Nous appliquons ces méthodes de calcul pour obtenir une version motivique homotopique du calcul de plomberie à la Mumford. Ce calcul s'exprime à l'aide d'une matrice d'intersection quadratique.
Au passage, nous développons quelques méthodes nouvelles en théorie des 6 foncteurs, comme une notion de résolution cdh alternée qui nous permet de donner une version motivique homotopique du complexe de Rapoport-Zink, utilisé pour calculer les cycles évanescents dans une situation semi-stable. Ces méthodes sont valables et appliquées dans divers contextes, comme par exemple celui des motifs d'Artin ou des motifs de Nori.

D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure, généralisée ensuite par M. Bondarko et l'auteur. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
Cette note a pour but d'énoncer une stratégie pour démontrer ce résultat. Cette stratégie a largement été dépassée dans la prépublication du 10/2022, mais je laisse cette version pour référence.