Frédéric Déglise

Ce travail ravive une piste ouverte dans ma thèse, dont le but est de comprendre les motifs génériques, pro-motifs mixtes associés aux modèles d'un corps de fonction sur un corps de base fixé. La théorie est d'abord reliée à l'approche duale de Beilinson des mêmes objets, ce qui montre son intérêt pour comprendre la t-structure motivique. De nouveaux calculs sont obtenus qui permettent de mieux comprendre les morphimes de motifs génériques. Ils sont aussi appliqués pour obtenir de nouveaux résultats sur la cohomologie motiviques des corps de fonctions: cette dernière grossit avec les éléments transcendants, mais sans doute de manière très controlable. Une des vertus de ce papier est aussi de donner une détermination directe de la cohomologie motivique des corps de nombres à partir des résultats de Borel et d'une étude détaillée de la lambda-filtration en K-théorie rationnelle. Ce travail est en version finale, en vue d'une publication dans l'édition spéciale en l'honneur de Jacob Murre.

La théorie de l'orientation en homotopie motivique stable a été étendue par Ivan Panin et Charles Walter. Nous avons étudié cette théorie en collaboration avec Jean Fasel en introduisant la notion de loi formelle ternaire, ainsi que le caractère de Borel qui est un analogue quadratique du caractère de Chern. Dans cette prépublication, nous démontrons une formule de Grothendieck-Riemann-Roch pour les classes fondamentales virtuelles orientées (en un sens défini dans ce travail), qui à son tour entraîne plusieurs variantes de la formule de Riemann-Roch, dont la version habituelles pour le morphisme de Gysin en cohomologie associée à un morphisme projectif lci. Un calcul explicite est donné pour les surfaces K3.

Ce travail a sa source dans la volonté de calculer le degré des cycles quadratiques sur des corps quelconques. Deux problèmes peuvent apparaître dans la théorie: les extensions inséparables, et la caractéristique 2. L'idée principale pour les résoudre est d'utiliser le tapis donné par la dualité de Grothendieck. Finalement, les notes ont pour ambition de décrire complètement la théorie de la K-théorie de Milnor-Witt, en suivant l'axiomatique de Feld des modules de Milnor-Witt. Ces notes servent de base aux notes à venir sur les cycles quadratiques. Elles s'appuient sur une série d'exposés donnés à l'école de printemps ``Invariants in Algebraic Geometry''.

Cette prépublication pour le moment inachevée a pour but de terminer le programme visant à comprendre la t-structure homotopique perverse définie par J. Ayoub, et généralisée par M. Bondarko et le premier auteur, la suite spectrale de Leray qui lui est associée. Le point capital est le calcul du cœur de cette t-structrure en termes de complexes de Cousin, notion héritée de Grothendieck — lui-même inspiré de Cartan, Zariski et Samuel. Avec des hypothèses plus fortes, on montre que ce cœur est équivalent à une généralisation des modules de cycles de Rost, ceci pour la catégorie A1-dérive stable. [A l'heure actuelle, il reste à montrer que l'un des deux morphismes d'adjonction est bien un isomorphisme.]

Ce travail propose une version motivique de plusieurs notions de géométrie différentielle: lien d'une singularité, voisinage tubulaire épointé, espace des fins. À l'aide du formalisme des six foncteurs, nous donnons une définition du voisinage tubulaire épointé et du type d'homotopie à l'infini qui rejoignent des considérations de Marc Levine pour le premier, Hughes-Ranicki et Jörg Wildeshaus pour le deuxième. Ces deux notions coïncident si l'on considère une situation compactifiée. Nous développons des méthodes de calcul de ces deux invariants, dont notamment une formule générale dans dans le cas d'une singularité à croisement normaux (ou plus généralement "h-lisse") et une interprétation en termes de classe fondamentale. Nous appliquons ces méthodes de calcul pour obtenir une version motivique homotopique du calcul de plomberie à la Mumford. Ce calcul s'exprime à l'aide d'une matrice d'intersection quadratique. Au passage, nous développons quelques méthodes nouvelles en théorie des 6 foncteurs, comme une notion de résolution cdh alternée qui nous permet de donner une version motivique homotopique du complexe de Rapoport-Zink, utilisé pour calculer les cycles évcanescents dans une situation semi-stable. Ces méthodes sont valables et appliquées dans divers contextes, comme par exemple celui des motifs d'Artin ou des motifs de Nori.

D'après sa construction même, la théorie des complexes motiviques de Voevodsky sur un corps parfait vient avec une t-structure qu'il a appelée la t-structure homotopique (car elle ne coïncide pas avec la t-structure motivique). Dans mon travail de thèse, j'ai montré comment définir la version stable (i.e. non effective) de cette t-structure, et j'ai identifié son coeur avec la théorie des modules de cycles de Rost (cf. ici).
Dans le cadre axiomatique des foncteurs homotopiques stables, Ayoub a introduit une version relative, sur un schéma de base S, de cette t-structure, généralisée ensuite par M. Bondarko et l'auteur. Il avait conjecturé il y a quelques années, lors d'exposés, que le coeur de cette t-structure, appliquée à la bonne version de DM(S).
Cette note a pour but d'énoncer une stratégie pour démontrer ce résultat. Cette stratégie a largement été dépassée dans la prépublication du 10/2022, mais je laisse cette version pour référence.