Dualité dans le cas lisse projectif pour les spectres motiviques

Dualité dans le cas lisse projectif pour les spectres motiviques (généralisés)

Groupe de travail en théorie de l'homotopie motivique
13-17 juillet 2026, calendrier précis à déterminer
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Calendrier : dates et orateurs à déterminer, pendant la semaine du 13 au 17 juillet 2026
Lieu : à préciser

Présentation : Ce groupe de travail sera consacré à la démonstration des résultats de dualité de Annala-Hoyois-Iwasa dans le cadre non \(\mathbb A^1\)-invariant de leurs spectres motiviques. Le but est de comprendre le théorème d'ambidextrie pour les morphismes lisses projectifs et l'énoncé de dualité d'Atiyah qui en résulte, en restant au plus près de la géométrie de la preuve.

Un point central sera la construction et l'utilisation des morphismes de Gysin dans ce cadre, à la suite de Tang. Nous attacherons une attention particulière aux arguments qui permettent de contourner les arguments classiques de pureté : dans la catégorie \(MS_S\), le morphisme de pureté usuel associé à une immersion fermée n'est plus un isomorphisme en général, mais on dispose encore d'assez de fonctorialité de Gysin, de normalisation et de compatibilité à la composition pour démontrer la dualité dans le cas lisse projectif.

L'accent sera mis sur la route géométrique : déformation au cône normal, espaces de déformation compactifiés et multiples, normalisation et composition des morphismes de Gysin, application d'évaluation géométrique, récurrence pour les espaces projectifs, et passage final des espaces projectifs aux morphismes lisses projectifs. Les applications, comme la colocalisation \(\mathbb A^1\) et les théories cohomologiques logarithmiques, seront présentées à la fin si le temps le permet.

Programme du groupe de travail :

À préciser	Le cas classique et vue d'ensemble de la preuve	Frédéric Déglise	Introduction rapide : le tableau classique de la pureté (triangles et morphismes de Gysin, route formelle des morphismes de Gysin à la dualité, enrichissement/racine du formalisme des six opérations). Nous passerons en revue, de façon comparative, la stratégie générale de la preuve du théorème d'Annala-Hoyois-Iwasa, ainsi que l'approche de Tang et les principales idées nouvelles. Réf. : Gysin II, Six opérations, AHI2.
À préciser	Spectres motiviques généralisés	Frédéric Déglise	Rappels de géométrie algébrique dérivée. Construction de la catégorie \(MS_S\) des spectres motiviques généralisés : excision par éclatements, inversion de \(P^1\), espaces de Thom et \(J\)-homomorphisme. L'objectif est d'isoler le formalisme nécessaire pour les spectres de Thom \(\operatorname{Th}_X(\xi)\). Réf. : Annala-Iwasa, §§1-3 ; Annala-Hoyois-Iwasa, Conner-Floyd, §§2-4 ; AHI2, §2.
À préciser	Morphismes de Gysin: construction	Davit Harutyunyan	Construction du morphisme de Gysin pour une immersion fermée entre schémas lisses dans \(MS_S\). Déformation compactifiée au cône normal, éclatements dérivés, carrés excessifs, fonctorialité, et factorisation par le complémentaire ouvert. Comparaison avec la construction classique de l'espace de déformation de Fulton et Rost. Compatibilité à la structure monoïdale. Réf. : Tang, §§2-3 et appendice A ; voir aussi AHI2, §2.
À préciser	Morphismes de Gysin: normalisation, composition	Davit Harutyunyan	Démonstration du théorème de normalisation pour le morphisme de Gysin de la section nulle et pour \(\mathbb P_Y(\mathcal O)\subset \mathbb P_Y(E\oplus\mathcal O)\). Compatibilité des morphismes de Gysin à la composition. Réf. : Tang, théorème 3.10 et corollaires 3.11-3.12 ; thorème 3.17.
À préciser	Transformation de Gysin, application d'évaluation géométrique	Leonardo Colombo	Fonctorialité de base de MS, structure "prémotivique": \(f^*\), \(p_\sharp\), correspondances. Transformations de Gysin, propriétés. Comparaison avec la construction classique dans SH via A1-localisation. Définition du morphisme de comparaison, propriétés. Réf. : AHI2, §§ 2-3 (pas la peine d'énoncer le théorème 2.3).
À préciser	Espaces projectifs et dualité géométrique	Leonardo Colombo	Suites nulles de Gysin et quadruplets de Gysin. Dualité pour \(\mathbb P^n\). Eventuellement: classe d'Euler dans MS, SL et Sp orientations à la Panin-Walter, théorèmes du fibré projectif associés. Réf. : AHI2, §§3-4 ; complémentaire : Panin–Walter, Panin–Walter.
À préciser	Ambidextrie, dualité d'Atiyah et applications	Ayman Toufik	Nouvelle forme de la "transformation de Gysin", propriétés. Preuve de l'ambidextrie pour les morphismes lisses projectifs, et déduction de la dualité d'Atiyah pour les spectres de Thom. Applications (choisir au besoin): colocalisation \(\mathbb A^1\), théories cohomologiques logarithmiques, exactitude de Landweber et opérations en \(K\)-théorie algébrique. Réf. : AHI2, §5. Applications: §§6-9.
Date	Titre	Orateur	Description	Notes

Références :

Tang: Tang, Longke. The \(P^1\)-motivic Gysin map. arXiv:2604.24888v1, 2026. arXiv.
Annala-Hoyois-Iwasa (dualité d'Atiyah): Annala, Toni ; Hoyois, Marc ; et Iwasa, Ryomei. Atiyah duality for motivic spectra. arXiv:2403.01561v1, 2024. arXiv.
Annala-Hoyois-Iwasa (Conner-Floyd): Annala, Toni ; Hoyois, Marc ; et Iwasa, Ryomei. Algebraic cobordism and a Conner-Floyd isomorphism for algebraic \(K\)-theory. arXiv:2303.02051v2, 2024. arXiv.
Annala-Iwasa: Annala, Toni et Iwasa, Ryomei. Motivic spectra and universality of \(K\)-theory. arXiv:2204.03434v3, 2025. arXiv.
Gysin II: D. Around the Gysin triangle II. Documenta Mathematica 13 (2008), 613-675. arXiv.
Six opérations motiviques: Cisinski, Denis-Charles et D. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2019. arXiv.
Fulton: Fulton, William. Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3e série, vol. 2. Deuxième édition, Springer, 1998. doi.
Rost: Rost, Markus. Chow groups with coefficients. Documenta Mathematica 1 (1996), 319-393. EUDML.
Ayoub: Ayoub, Joseph. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique. Astérisque 314-315, Société Mathématique de France, 2007. SMF.
Röndigs: Röndigs, Oliver. Functoriality in motivic homotopy theory. Prépublication non publiée, 2005.
Panin–Walter (MSL et MSp): Panin, Ivan and Walter, Charles. On the algebraic cobordism spectra MSL and MSp. St. Petersburg Math. J. 34 (2023), no. 1, 144–187. arXiv, doi.
Panin–Walter (fibré projectif quaternionique): Panin, Ivan and Walter, Charles. Quaternionic Grassmannians and Pontryagin classes in algebraic geometry. Preprint, 2010. arXiv.