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L'hypothèse de Riemann sur les corps finis d'après Deligne |
Groupe de travail
Université Paris 13,
octobre 2010 - mars 2011
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Présentation : Le but du groupe de travail est de lire les articles de Deligne [WeilI] et [WeilII]. Ces deux articles sont l'aboutissement du programme de Grothendieck sur la cohomologie étale mais aussi le point de départ pour de nombreux travaux dans la cohomologie des variétés. L'article [WeilI] achève l'application de la cohomologie étale aux conjectures de Weil, en démontrant la seule partie de la conjecture de Weil qui était encore ouverte après les travaux de Grothendieck, l'analogue de l'hypothèse de Riemann. L'article [WeilII] améliore le résultat obtenu dans [WeilI], en élaborant une théorie des poids pour les faisceaux l-adiques. Une autre application majeure de cet article est la démonstration du théorème de Lefschetz dit "difficile" en cohomologie étale. Cette preuve achève donc le travail qui avait été entrepris dans [SGA7] afin d'utiliser les méthodes de Lefschetz en cohomologie étale. Naturellement, le groupe de travail occupera une partie de son temps à comprendre les résultats de [SGA7], la théorie des cycles évanescents.
- Programme du groupe de travail - quelques exposés sont disponibles :
| 7/10 |
Introduction I (pdf) |
F. Déglise | Dans cette introduction, on présente le point auquel était parvenu Grothendieck avec son interprétation cohomologique des fonctions zêta. Celle-ci, bien que prévue par Weil, représente le point d'orgue du travail de Grothendieck en géométrie algébrique. Point d'orgue non pas tant pour son importance que parce qu'il réalise l'ambition initiale de Grothendieck de définir une bonne théorie cohomologique pour les variétés sur un corps fini. |
| 21/10 |
Introduction II (pdf) |
F. Déglise |
Cette deuxième partie montre comment Grothendieck exploite sa théorie des faisceaux étales - et surtout leur variante l-adique - pour étendre le formalisme des fonctions L. Ces fonctions, introduites par E. Artin, généralisaient déjà le cas des fonctions L. La méthode cohomologique de Grothendieck, qui fait apparaître lesdits faisceaux comme la généralisation naturelle des systèmes locaux, s'étend dans cette généralité. C'est le point de départ de la théorie des poids sur les faisceaux l-adiques qui sera développée par Deligne. |
| 18/11 | Faisceaux l-adiques, poids | B. Drew | On exposera la notion de faisceau l-adique utilisée par Deligne suivant [WeilII, (1.1)], et la notion de poids qui s'y rattache [WeilII, (1.2)]. |
| 25/11 |
Formules des traces (pdf) |
A. Javanpeykar |
On expose la démonstration de la formule des traces pour les faisceaux l-adiques suivant la méthode de Nielsen-Wecken. Référence [Rapport] |
| 02/12 | Le formalisme des cycles évanescents (pdf) | D. Hébert | On introduira le formalisme des cycles évanescents d'après l'exposé de Deligne [SGA7, XIII] (voir aussi [SGA7, I]). |
| 09/12 | Formule de Picard-Lefschetz I | R. Casalis | Quadriques, cônes quadratiques et leur cohomologie. Calcul des cycles évanescents dans le cas d'un cône quadratique. |
| 06/01 | Le formalisme des cycles évanescents (cas transcendant) | D. Hébert | Cet exposé s'appuie sur [SGA7, XIV]. On introduira le formalisme des cycles évanescents dans le cadre topologique (cf §1), on démontrera le théorème de comparaison 2.8. On fera l'étude des singularités isolées de la section 3.1. |
| 13/01 | Formule de Picard-Lefschetz II | R. Casalis |
Preuve de la formule de Picard Lefschetz (cf [SGA7, XIV, 3.2], [SGA7, XV], [Illusie]). |
| 20/01 | Pinceaux de Lefschetz I | J. Fresan | On définira les "pinceaux de Lefschetz" et on montrera comment les construire suivant [SGA7, XVII]. |
| 10/02 |
La majoration fondamentale (dvi) |
S. Kelly | Dans cet exposé, on démontrera la "majoration fondamentale" qui sert de point de départ à Deligne dans sa première preuve de l'hypothèse de Riemann. Référence [WeilI, section 3] |
| 03/03 | Pinceaux de Lefschetz II | J. Fresan | On fera l'étude de la cohomologie des pinceaux de Lefschetz [SGA7, XVIII]. |
| 10/03 | Preuve de l'hypothèse de Riemann I | G. Ancona | On exposera la preuve de l'hypothèse de Riemann en s'appuyant sur les résultats des exposés précédents. Référence: [WeilI, sections 6 et 7] |
| 17/03 | Preuve de l'hypothèse de Riemann II | G. Ancona | Fin de la preuve |
| 24/03 | Groupe fondamental et groupe fondamental modéré | J. Scholbach | Théorie du groupe fondamental d'après Grothendieck, et sa version modérée d'aprés Grothendieck-Murre. On exposera les résultats récents de Schmidt [Schmidt] et de Tamagawa [Tam]. |
| Date | Titre | Orateur | Description |
- Références :
- WeilI
- Deligne, P. La conjecture de Weil I. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 43 (1974), 273--307.
- WeilII
- Deligne, P. La conjecture de Weil II. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. No. 52 (1980), 137--252.
- Illusie
- Illusie, L. On semistable reduction and the calculation of nearby cycles. Geometric aspects of Dwork theory. Vol. I, II, 785--803, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin (2004).
- Rapport
-
Deligne, P. Rapport sur la formule des traces. In Séminaire
de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4
1/2.
Lecture Notes in Mathematics, Vol. 569. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. iv+312pp.
Schmidt
Schmidt, Alexander. Tame coverings
of arithmetic schemes. Math. Ann. 322 (2002), no. 1, 1–18.
Tamagawa
Tamagawa, Akio. On the tame
fundamental groups of curves over algebraically closed fields of characteristic
$>0$.
Galois groups and fundamental groups,
47–105, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 41, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 2003.