Théorie de l'homotopie motivique

Mes thèmes de recherche sont les théories cohomologiques, la géométrie algébrique et arithmétique, la théorie de l'intersection et la topologie algébrique.

Au début des années 90, Vladimir Voevodsky a initié ce qui allait devenir par la suite la théorie de l'homotopie motivique, avec pour but de définir la théorie des motifs mixtes triangulés conjecturée par Alexander Beilinson. À cette occasion, Voevodsky introduisait la h-topologie et la théorie des h-motifs effectifs. Mais l'idée maitresse était de faire de la droite affine algébrique l'analogue de l'intervalle topologique.

Un peu plus tard, suite à ses premières tentatives de démonstration de la conjecture de Milnor, Voevodsky en collaboration avec Fabien Morel introduisait la définition générale de l'homotopie motivique qui permet de transporter le cadre de la topologie algébrique à la géométrie algébrique. Cela permet par exemple de définir une version algébrique de la théorie du cobordisme due à René Thom, remplaçant les variétés différentielles par les variétés algébriques (sur un corps ou même une base quelconque).

Le monde créé par Morel et Voevodsky offre une riche panoplie de nouveaux invariants qui sont activement étudiés à l'heure actuelle. En particulier, elle englobe la théorie des motifs mixtes conjecturée par Beilinson qui acquiert une nouvelle dimension à travers l'analogue motivique de la théorie de l'orientation topologique.

Son premier succès est d'avoir permis à Voevodsky de résoudre une conjecure multiforme qui dans sa version la plus aboutie décrit la relation entre les variantes Nisnevich et étale des complexes motiviques de Tate à coefficients de torsion: la conjecture de Beilinson-Lichtenbaum qui contient comme cas particulier les conjectures de Milnor et de Bloch-Kato.