CNRS Rhône-Auvergne
Frédéric Déglise
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Géométrie algébrique et arithmétique

ENS Lyon
UMPA

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Géométrie réelle, motifs et A1-homotopie

Groupe de travail
ANR HQDIAG, 2022
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Horaires: le vendredi, à 10h30
Lieu: Visio sur Zoom

Présentation: La théorie A1-homotopique a pour particularité de mixer les invariants arithmétiques de la géométrie algébrique avec les invariants topologiques. La géométrie réelle a donc un rôle tout particulier à jouer, puisque le groupe de Galois de R est le plus simple possible! Ces dernières années, ce problème a motivé de nombreux travaux. Nous nous proposons d'aborder ces travaux avec par ailleurs un angle plus arithmétique, en essayant de les lier au problème des régulateurs de Beilinson.

Programme du groupe de travail:

07/01 Présentation I Frédéric Déglise Théorie de Cox [Cox], comme motivation du livre de Scheiderer [Scheiderer]. Référence pour la géométrie algébrique réelle: [Mangolte]. notes
14/01 Présentation II Frédéric Déglise Petit tour historique de l'homotopie motivique et théorème de Bachmann. notes
21/01 Spectre réel et site réel étale; théorème de comparaison de Coste-Roy Samuel Lerbet Section I.1 (et rappels donnés dans 0.4) de [Scheiderer]. L'exposé a mentionné le théorème de Tarsky-Seidenberg, dont l'application à la constructibilité: voir Prop. 2.3 ("théorème de Chevalley réel''), p. 34 de [CosteRoy]. notes, pdf
28/01 Recollement des sites réel-étale et réel Samuel Lerbet Fin du théorème de comparaison et recollement des sites étales et réels étales notes, pdf
04/02 Points et compatibilités aux limites du site réel-étale Riccardo Pengo Section I.3 de [Scheiderer] notes, pdf
11/02 Suite exacte de Cox généralisée I Raphaël Ruimy Section I.5 et I.6 de [Scheiderer] notes
25/02 Suite exacte de Cox généralisée I Raphaël Ruimy (suite de l'exposé)
04/03 Suite exacte de Cox généralisée II Mattia Cavicchi Section I.5 et I.6 de [Scheiderer] notes
11/03 Théorèmes de comparaison Johannes Huisman Section III.15 de [Scheiderer] notes
18/03 Théorèmes de changement de base I Sophie Morel Changement de base propre, Section III.16 de [Scheiderer] notes
25/03 Théorèmes de changement de base II Sophie Morel Changement de base lisse, Section III.16 de [Scheiderer] notes
01/04 Théorie des 6 foncteurs Keyao Peng On fera un point sur les 6 foncteurs. Axiomatique générale des "foncteurs croisés" de Voevodsky (cf. Intro de [Cisinki-Déglise]). Ingrédients principaux pour établir le formalisme dans le cas de l'homotopie stable, et plus généralement le cadre axiomatique de Voevodsky. notes
08/04 Rappels et compléments d'A1-homotopie Clémentine Lemarié-Rieusset Éléments caractéristiques et K-théorie de Milnor Witt, transferts, localisation monoïdale - Sections 4 et 6 de [Bachmann] notes
15/04 Théorie homotopique stable du site réel-étale Santiago Toro Oquendo Sections 2 et 3 de [Bachmann] notes
29/04 Théorème de Jacobson et modules homotopique ρ-stables Pierre Martinez Section 7 de [Bachmann] notes
06/05 Théorème de Bachmann Niels Feld Sections 8 et 9 de [Bachmann] notes
13/05 Foncteurs de Mackey et cohomologie équivariante Robin Carlier Section 2 [dos Santos-Lima-Filho] notes
03/06 Infinis G-topos Robin Carlier On comparera l'approche classique de Bredon et celle de Scheiderer/Elmanto-Shah; section 2 de [Elmanto-Shah] notes
10/06 Cohomologie de Deligne des variétés réelles François Brunault Rappels du cas classique. Section 3 de [dos Santos-Lima-Filho] notes
24/06 Suite exponentielle Iván Rosas Soto Rappels du cas classique. Section 4 de [dos Santos-Lima-Filho] notes
01/07 Cohomologie de Deligne en degré 2 Samuel Lerbet Section 5 de [dos Santos-Lima-Filho] notes
Date Titre Orateur Description Notes

Références:

Cox
Cox, David A. The étale homotopy type of varieties over R. Proc. Amer. Math. Soc., 76 (1979), no. 1, 17--22.
Scheiderer
Scheiderer, Claus. Real and étale cohomology. Lecture Notes in Mathematics, 1588. Springer-Verlag, Berlin, 1994. {\rm xxiv}+273 pp.
Bachmann
Bachmann, Tom. Motivic and real étale stable homotopy theory. Compos. Math. 154 (2018), no. 5, 883--917.
Mangolte
Mangolte, Frédéric. Variétés algébriques réelles.Cours Spécialisés, 24. Société Mathématique de France, Paris, 2017. vii+484 pp. en ligne
CosteRoy
Michel Coste et Marie-Françoise Roy. La topologie du spectre réel. dans Ordered Fields and Real Algebraic Geometry, édité par Donald W Dubois et Tomas Recio, Contemporary Mathematics, volume 8, 1982, pp. 27-59.
dos Santos-Lima-Filho
dos Santos, Pedro F.; Lima-Filho, Paulo. Integral Deligne cohomology for real varieties. Math. Ann. 350 (2011), no. 4, 973--1022.
Elmanto-Shah
Elmanto, Elden; Shah, Jay. Scheiderer motives and equivariant higher topos theory. Adv. Math. 382 (2021), Paper No. 107651, 116 pp.
HWXZ
Hornbostel, Jens; Wendt, Matthias; Xie, Heng; Zibrowius, Marcus. The real cycle class map. Ann. K-Theory 6 (2021), no. 2, 239--317.
Cisinski-Déglise
Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics., 2019. xlii+406 pp.