Frédéric Déglise

Géométrie réelle, motifs et A1-homotopie

Working Group
ANR HQDIAG, 2022
________

Schedule: Fridays at 10:30 AM
Location: Online via Zoom

Introduction: The A1-homotopy theory is particularly interesting because it mixes the arithmetic invariants of algebraic geometry with topological invariants. Real geometry thus plays a very special role, since the Galois group of R is as simple as possible! In recent years, this problem has motivated numerous studies. We propose to approach these studies from a more arithmetic angle, while trying to connect them to the problem of Beilinson's regulators.

Working Group Program:

07/01	Présentation I	Frédéric Déglise	Théorie de Cox [Cox], comme motivation du livre de Scheiderer [Scheiderer]. Référence pour la géométrie algébrique réelle: [Mangolte].	notes
14/01	Présentation II	Frédéric Déglise	Petit tour historique de l'homotopie motivique et théorème de Bachmann.	notes
21/01	Spectre réel et site réel étale; théorème de comparaison de Coste-Roy	Samuel Lerbet	Section I.1 (et rappels donnés dans 0.4) de [Scheiderer]. L'exposé a mentionné le théorème de Tarsky-Seidenberg, dont l'application à la constructibilité: voir Prop. 2.3 ("théorème de Chevalley réel''), p. 34 de [CosteRoy].	notes, pdf
28/01	Recollement des sites réel-étale et réel	Samuel Lerbet	Fin du théorème de comparaison et recollement des sites étales et réels étales	notes, pdf
04/02	Points et compatibilités aux limites du site réel-étale	Riccardo Pengo	Section I.3 de [Scheiderer]	notes, pdf
11/02	Suite exacte de Cox généralisée I	Raphaël Ruimy	Section I.5 et I.6 de [Scheiderer]	notes
25/02	Suite exacte de Cox généralisée I	Raphaël Ruimy	(suite de l'exposé)	notes
04/03	Suite exacte de Cox généralisée II	Mattia Cavicchi	Section I.5 et I.6 de [Scheiderer]	notes
11/03	Théorèmes de comparaison	Johannes Huisman	Section III.15 de [Scheiderer]	notes
18/03	Théorèmes de changement de base I	Sophie Morel	Changement de base propre, Section III.16 de [Scheiderer]	notes
25/03	Théorèmes de changement de base II	Sophie Morel	Changement de base lisse, Section III.16 de [Scheiderer]	notes
01/04	Théorie des 6 foncteurs	Keyao Peng	On fera un point sur les 6 foncteurs. Axiomatique générale des "foncteurs croisés" de Voevodsky (cf. Intro de [Cisinki-Déglise]). Ingrédients principaux pour établir le formalisme dans le cas de l'homotopie stable, et plus généralement le cadre axiomatique de Voevodsky.	notes
08/04	Rappels et compléments d'A1-homotopie	Clémentine Lemarié-Rieusset	Éléments caractéristiques et K-théorie de Milnor Witt, transferts, localisation monoïdale - Sections 4 et 6 de [Bachmann]	notes
15/04	Théorie homotopique stable du site réel-étale	Santiago Toro Oquendo	Sections 2 et 3 de [Bachmann]	notes
29/04	Théorème de Jacobson et modules homotopique ρ-stables	Pierre Martinez	Section 7 de [Bachmann]	notes
06/05	Théorème de Bachmann	Niels Feld	Sections 8 et 9 de [Bachmann]	notes
13/05	Foncteurs de Mackey et cohomologie équivariante	Robin Carlier	Section 2 [dos Santos-Lima-Filho]	notes
03/06	Infinis G-topos	Robin Carlier	On comparera l'approche classique de Bredon et celle de Scheiderer/Elmanto-Shah; section 2 de [Elmanto-Shah]	notes
10/06	Cohomologie de Deligne des variétés réelles	François Brunault	Rappels du cas classique. Section 3 de [dos Santos-Lima-Filho]	notes
24/06	Suite exponentielle	Iván Rosas Soto	Rappels du cas classique. Section 4 de [dos Santos-Lima-Filho]	notes
01/07	Cohomologie de Deligne en degré 2	Samuel Lerbet	Section 5 de [dos Santos-Lima-Filho]	notes
Date	Titre	Orateur	Description	Notes

References:

Cox: Cox, David A. The étale homotopy type of varieties over R. Proc. Amer. Math. Soc., 76 (1979), no. 1, 17--22.
Scheiderer: Scheiderer, Claus. Real and étale cohomology. Lecture Notes in Mathematics, 1588. Springer-Verlag, Berlin, 1994. {\rm xxiv}+273 pp.
Bachmann: Bachmann, Tom. Motivic and real étale stable homotopy theory. Compos. Math. 154 (2018), no. 5, 883--917.
Mangolte: Mangolte, Frédéric. Variétés algébriques réelles.Cours Spécialisés, 24. Société Mathématique de France, Paris, 2017. vii+484 pp. en ligne
CosteRoy: Michel Coste et Marie-Françoise Roy. La topologie du spectre réel. dans Ordered Fields and Real Algebraic Geometry, édité par Donald W Dubois et Tomas Recio, Contemporary Mathematics, volume 8, 1982, pp. 27-59.
dos Santos-Lima-Filho: dos Santos, Pedro F.; Lima-Filho, Paulo. Integral Deligne cohomology for real varieties. Math. Ann. 350 (2011), no. 4, 973--1022.
Elmanto-Shah: Elmanto, Elden; Shah, Jay. Scheiderer motives and equivariant higher topos theory. Adv. Math. 382 (2021), Paper No. 107651, 116 pp.
HWXZ: Hornbostel, Jens; Wendt, Matthias; Xie, Heng; Zibrowius, Marcus. The real cycle class map. Ann. K-Theory 6 (2021), no. 2, 239--317.
Cisinski-Déglise: Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics., 2019. xlii+406 pp.