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Géométrie réelle, motifs et A1-homotopie |
Groupe de travail
ANR HQDIAG, 2022
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Horaires: le vendredi, à 10h30
Lieu: Visio sur Zoom
Présentation: La théorie A1-homotopique a pour particularité de mixer les invariants arithmétiques de la géométrie algébrique avec les invariants topologiques. La géométrie réelle a donc un rôle tout particulier à jouer, puisque le groupe de Galois de R est le plus simple possible! Ces dernières années, ce problème a motivé de nombreux travaux. Nous nous proposons d'aborder ces travaux avec par ailleurs un angle plus arithmétique, en essayant de les lier au problème des régulateurs de Beilinson.
Programme du groupe de travail:
| 07/01 | Présentation I | Frédéric Déglise | Théorie de Cox [Cox], comme motivation du livre de Scheiderer [Scheiderer]. Référence pour la géométrie algébrique réelle: [Mangolte]. | notes |
| 14/01 | Présentation II | Frédéric Déglise | Petit tour historique de l'homotopie motivique et théorème de Bachmann. | notes |
| 21/01 | Spectre réel et site réel étale; théorème de comparaison de Coste-Roy | Samuel Lerbet | Section I.1 (et rappels donnés dans 0.4) de [Scheiderer]. L'exposé a mentionné le théorème de Tarsky-Seidenberg, dont l'application à la constructibilité: voir Prop. 2.3 ("théorème de Chevalley réel''), p. 34 de [CosteRoy]. | notes, pdf |
| 28/01 | Recollement des sites réel-étale et réel | Samuel Lerbet | Fin du théorème de comparaison et recollement des sites étales et réels étales | notes, pdf |
| 04/02 | Points et compatibilités aux limites du site réel-étale | Riccardo Pengo | Section I.3 de [Scheiderer] | notes, pdf |
| 11/02 | Suite exacte de Cox généralisée I | Raphaël Ruimy | Section I.5 et I.6 de [Scheiderer] | notes |
| 25/02 | Suite exacte de Cox généralisée I | Raphaël Ruimy | (suite de l'exposé) | |
| 04/03 | Suite exacte de Cox généralisée II | Mattia Cavicchi | Section I.5 et I.6 de [Scheiderer] | notes |
| 11/03 | Théorèmes de comparaison | Johannes Huisman | Section III.15 de [Scheiderer] | notes |
| 18/03 | Théorèmes de changement de base I | Sophie Morel | Changement de base propre, Section III.16 de [Scheiderer] | notes |
| 25/03 | Théorèmes de changement de base II | Sophie Morel | Changement de base lisse, Section III.16 de [Scheiderer] | notes |
| 01/04 | Théorie des 6 foncteurs | Keyao Peng | On fera un point sur les 6 foncteurs. Axiomatique générale des "foncteurs croisés" de Voevodsky (cf. Intro de [Cisinki-Déglise]). Ingrédients principaux pour établir le formalisme dans le cas de l'homotopie stable, et plus généralement le cadre axiomatique de Voevodsky. | notes |
| 08/04 | Rappels et compléments d'A1-homotopie | Clémentine Lemarié-Rieusset | Éléments caractéristiques et K-théorie de Milnor Witt, transferts, localisation monoïdale - Sections 4 et 6 de [Bachmann] | notes |
| 15/04 | Théorie homotopique stable du site réel-étale | Santiago Toro Oquendo | Sections 2 et 3 de [Bachmann] | notes |
| 29/04 | Théorème de Jacobson et modules homotopique ρ-stables | Pierre Martinez | Section 7 de [Bachmann] | notes |
| 06/05 | Théorème de Bachmann | Niels Feld | Sections 8 et 9 de [Bachmann] | notes |
| 13/05 | Foncteurs de Mackey et cohomologie équivariante | Robin Carlier | Section 2 [dos Santos-Lima-Filho] | notes |
| 03/06 | Infinis G-topos | Robin Carlier | On comparera l'approche classique de Bredon et celle de Scheiderer/Elmanto-Shah; section 2 de [Elmanto-Shah] | notes |
| 10/06 | Cohomologie de Deligne des variétés réelles | François Brunault | Rappels du cas classique. Section 3 de [dos Santos-Lima-Filho] | notes |
| 24/06 | Suite exponentielle | Iván Rosas Soto | Rappels du cas classique. Section 4 de [dos Santos-Lima-Filho] | notes |
| 01/07 | Cohomologie de Deligne en degré 2 | Samuel Lerbet | Section 5 de [dos Santos-Lima-Filho] | notes |
| Date | Titre | Orateur | Description | Notes |
Références:
- Cox
- Cox, David A. The étale homotopy type of varieties over R. Proc. Amer. Math. Soc., 76 (1979), no. 1, 17--22.
- Scheiderer
- Scheiderer, Claus. Real and étale cohomology. Lecture Notes in Mathematics, 1588. Springer-Verlag, Berlin, 1994. {\rm xxiv}+273 pp.
- Bachmann
- Bachmann, Tom. Motivic and real étale stable homotopy theory. Compos. Math. 154 (2018), no. 5, 883--917.
- Mangolte
- Mangolte, Frédéric. Variétés algébriques réelles.Cours Spécialisés, 24. Société Mathématique de France, Paris, 2017. vii+484 pp. en ligne
- CosteRoy
- Michel Coste et Marie-Françoise Roy. La topologie du spectre réel. dans Ordered Fields and Real Algebraic Geometry, édité par Donald W Dubois et Tomas Recio, Contemporary Mathematics, volume 8, 1982, pp. 27-59.
- dos Santos-Lima-Filho
- dos Santos, Pedro F.; Lima-Filho, Paulo. Integral Deligne cohomology for real varieties. Math. Ann. 350 (2011), no. 4, 973--1022.
- Elmanto-Shah
- Elmanto, Elden; Shah, Jay. Scheiderer motives and equivariant higher topos theory. Adv. Math. 382 (2021), Paper No. 107651, 116 pp.
- HWXZ
- Hornbostel, Jens; Wendt, Matthias; Xie, Heng; Zibrowius, Marcus. The real cycle class map. Ann. K-Theory 6 (2021), no. 2, 239--317.
- Cisinski-Déglise
- Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric. Triangulated categories of mixed motives. Springer Monographs in Mathematics., 2019. xlii+406 pp.